| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| a | 首項：第一項的值 | 與數列同單位 | 任意非零實數 |
| q | 公比：每一項是前一項的幾倍 | 無單位（倍數） | 成長 q > 1、衰減 0 < q < 1 |
| n | 項數：一共加了幾項 | 無單位 | 正整數 |
| S | 前 n 項和 | 與數列同單位 | 計算結果 |
a、q、n 各管什麼？公比把加法換成乘法
等差數列靠「每項加 d」往前走，等比數列靠「每項乘 q」。 定義同樣只有一句：相鄰兩項的比固定，那個比就是 q。 第 n 項 = a·q⁽ⁿ⁻¹⁾，指數位置擺的是 n——這是 指數而不是一次函數， 也是等比和與等差和長得完全不同的根源。
最短的例子：2、6、18、54、162，a = 2、q = 3、n = 5。 第 5 項是 2 × 3⁴ = 162，前 5 項和 S = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2 × (−242)/(−2) = 242。 分子與分母同時為負，負號互相抵消——q > 1 時這是常態，算出負數才是代錯了。
q = 1 必須單獨處理。每一項都等於 a，公式的分母 1 − q 變成零，不能用，直接 S = n × a： 每期固定存 500 元存 12 期就是 6,000 元。 這也說明 q = 1 是等比和的分界——公式在 q 趨近 1 時雖然極限正確，但直接代入會除以零。
同一個起點，加法與乘法差多少？本金 10,000 元起跳、連續 10 期， 等差每期加 1,000 元，等比每期乘 1.1（第一期的增量恰好也是 1,000 元）：
| 成長方式 | 第 10 項 | 前 10 項和 |
|---|---|---|
| 等差・a = 10,000、d = 1,000 | 19,000 | 145,000 |
| 等比・a = 10,000、q = 1.1 | 23,579 | 159,374 |
等差第 10 項 10,000 + 9 × 1,000 = 19,000，總和 (10/2)(2 × 10,000 + 9 × 1,000) = 145,000； 等比第 10 項 10,000 × 1.1⁹ = 23,579，總和 10,000(1 − 1.1¹⁰)/(1 − 1.1) = 159,374。 1.1 連乘十次是 2.59 倍，而不是把每期 10% 累加起來的那種直覺。 十期下來等比多出 14,374 元；期數再拉長，差距只會擴大。 「每年多存一萬」和「每年多存一成」是兩種本質不同的計畫。
用真實數字算一遍：年存 10 萬、利率 3%、十年後是多少
場景設定：每年年底存入 100,000 元進一個年利率 3%、每年複利一次的固定利率帳戶， 連存 10 年，最後一筆存完當天結算。先看懂這為什麼是等比數列。
第 1 筆存進去後還有 9 年可以滾，到期值 100,000 × 1.03⁹ = 130,477 元； 第 5 筆滾 5 年，115,927 元；最後一筆當天存當天結算，一毛利息都沒有， 就是 100,000 元。把十筆的到期值由後往前排，正好是 a = 100,000、q = 1.03、n = 10 的等比數列。
| 存入順位 | 滾存年數 | 到期值 |
|---|---|---|
| 第 1 筆 | 9 年 | 130,477 |
| 第 5 筆 | 5 年 | 115,927 |
| 第 10 筆 | 0 年 | 100,000 |
| 十筆合計 | — | 1,146,388 |
代進公式：1.03 的十次方是 1.3439，所以 S = 100,000 × (1 − 1.3439)/(1 − 1.03) = 100,000 × (−0.3439)/(−0.03) = 100,000 × 11.4639 = 1,146,388 元。 中間那個 11.4639 就是年金因子：存十期、利率 3%，相當於「存了 11.4639 期的本金」。
總共投入 10 × 100,000 = 1,000,000 元， 利息部分 1,146,388 − 1,000,000 = 146,388 元。 利息只佔投入的一成多，因為後面幾筆幾乎沒有時間滾—— 等比和的大部分重量壓在早期的項上，這點和 單筆複利的直覺相反。
存款時點是另一個容易被略過的變數。上面算的是期末年金（每期結束才存）。 若改成期初存入，每一筆都多滾一年，整串乘以 1.03，結果變 1,180,780 元，多 34,392 元。 同一筆錢、同樣十年，差別只在提早一期進場。
這條公式就是年金終值的本體。 把 a 換成 PMT、q 換成 1 + r，S = a(1 − qⁿ)/(1 − q) 立刻變成 PMT × ((1 + r)ⁿ − 1)/r——分子分母各乘 −1 而已，兩者不是相似，是同一個式子。
q 小於 1 為什麼會收斂？無窮等比級數 a/(1 − q)
當 |q| < 1，qⁿ 隨 n 變大趨近 0，公式裡的 (1 − qⁿ) 趨近 1， 整個和收斂到 S∞ = a/(1 − q)。 項數無限多不代表總和無限大，這是等比數列和最反直覺也最有用的性質， 而且它給的是一個可以直接算的有限數字，不是估計值。
永續年金（perpetuity）就是這個極限的金融版。假設每年年底可領 50,000 元、永遠領下去， 折現率 4%。第 1 年那筆的現值是 50,000 ÷ 1.04 = 48,077 元， 之後每年再多除一次 1.04，所以這是 a = 48,077、 q = 1 ÷ 1.04 = 0.9615 的無窮等比數列。 代 a/(1 − q) 化簡後只剩一句話：PV = 50,000 ÷ 0.04 = 1,250,000 元。
「永遠」到底值多少？拿有限期的版本對照就看得出收斂速度。 只領 30 年的現值是 50,000 × (1 − 1.04⁻³⁰)/0.04 = 864,602 元， 已經是永續版 1,250,000 元的 69.17%。 第 31 年以後那無窮多期全部加起來，也只佔剩下的三成出頭。 這就是年金現值與永續年金的距離： 折現率越高，尾巴越不值錢，兩者越接近。
同一個極限也解釋了貨幣乘數。存款準備率 10% 時，銀行每收到一筆存款可以把 90% 再放出去， 下一家銀行再放 90%，一輪一輪遞減。初始 100 億元的存款，理論上最多創造 100/(1 − 0.9) = 1,000 億元的存款總量。 但收斂需要時間：前 10 輪只累積到 651.32 億元， 佔最終值的 65.13%。
q ≥ 1 時沒有極限可言：每一項不減反增，加再多項只會越跑越遠，公式只能用在有限的 n 上。 這解釋了一件常被混淆的事——上一節的年金終值（q = 1.03）沒有「永續終值」這種東西， 但永續年金現值（q = 0.9615）存在。差別不在金融設計，在公比落在 1 的哪一側。
把利率直接當公比。年利率 3% 對應的 q 是 1.03，不是 0.03。 代錯會得到 S = 100,000 × (1 − 0.03¹⁰)/(1 − 0.03) = 103,093 元， 正確答案是它的 11.12 倍。 這個錯誤有個現成的攔截法：結果 103,093 元連投入的 1,000,000 元都不到， q > 1 的等比和不可能小於本金總額，量級一眼就不對。 第二個常錯的是 n：存 10 年、每年存一次就是 10 項，不是 11 項。 n 在指數上，多算一項就多乘一個 q，誤差隨期數放大而不是固定。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供這條公式的互動計算。 先用 a = 100,000、q = 1.03、n = 10 確認結果是不是 1,146,388，再換成自己的數字—— 填之前先確認輸入框要的是公比 q 還是成長率 r，這是這條公式最常翻車的地方。