| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| PVA | 年金現值（Present Value of Annuity） | 元 | 計算結果 |
| PMT | 每期定額收付（Payment） | 元 | 10,000 |
| r | 每期折現率（decimal） | — | 0.005（月折現率 0.5%，對應年利率 6% ÷ 12） |
| n | 總期數 | 期 | 240（20 年 × 12 個月） |
公式從哪裡來？等比數列一句話推導
想像你每個月月底會領到一筆 PMT 元。第 1 期領到的那筆， 今天的價值是 PMT ÷ (1+r)¹；第 2 期領到的折現後是 PMT ÷ (1+r)²； 最後第 n 期是 PMT ÷ (1+r)ⁿ。 把 n 期全部加起來：
PVA = PMT/(1+r) + PMT/(1+r)² + … + PMT/(1+r)ⁿ
這是首項 PMT/(1+r)、公比 1/(1+r) 的等比數列求和。 利用等比級數公式化簡，就得到：
PVA = PMT × (1 − (1+r)−n) / r
括號內的 (1−(1+r)^(−n))/r 就是年金現值因子（PVIFA）， 代表「每期 1 元、折現率 r、共 n 期，今天的合計現值」。 乘上每期金額就得整串現金流的現值。
這是「期末年金（ordinary annuity）」版本，假設每筆在期末收付。 期初版（annuity-due）要再乘 (1+r)，實務上退休金與貸款幾乎都用期末。
用真實數字算一遍：月領 1 萬、6%、20 年
代入 PMT = 10,000、r = 0.005（年利率 6% ÷ 12）、n = 240（20 年 × 12）。
從年金終值可知 (1.005)^240 ≈ 3.3102，故 (1.005)^(−240) ≈ 0.3021。 PVIFA = (1 − 0.3021) / 0.005 = 139.58。 PVA = 10,000 × 139.58 = 1,395,808 元。
240 筆名目總和 240 萬，折現後只剩 139 萬多。 最後一筆在 240 期後才領，到今天只值 10,000/(1.005)^240 ≈ 3,021 元，縮水到三成。 越晚拿的錢，折現幅度越深。
Excel 驗算：=10000*(1-(1+0.005)^(-240))/0.005，結果相同。
退休規劃：月領 3 萬，現在要準備多少？
退休後希望每月領 30,000 元、領 20 年，折現率假設 6%。 PMT 直接乘以 3，PVA 也乘以 3：
PVA = 30,000 × 139.58 = 4,187,423 元。
也就是說，今天在 6% 的假設下準備約 418 萬， 就足以支撐 20 年每月 3 萬的現金流。 少了這個數字，就意味著預算告罄前現金流就會斷。 這個數字就是你「需要從儲蓄或資產裡提領的資本額」， 和退休帳戶的目標餘額直接掛鉤。
這個數字對應的折現率假設是 6%（通常對應投資組合的預期年化報酬率）。 r 的選取至關重要，差 1% 就差超過 40 萬 — 見下一節。
利率差 1%，答案差多少？
同樣月領 10,000 元、領 20 年（n = 240），把折現率從 3% 換到 9%：
| 年利率 | 月折現率 r | 年金現值 PVA |
|---|---|---|
| 3% | 0.0025 | 1,803,109 |
| 6% | 0.005 | 1,395,808 |
| 9% | 0.0075 | 1,111,450 |
折現率從 3% 升到 6%，現值從 180 萬掉到 139 萬，差了 407,301 元。 僅僅 3 個百分點的假設差異，在「每月 1 萬、領 20 年」這個規格上， 就造成超過 40 萬的現值差距。
折現率代表放棄這筆錢去別處的機會成本，機會成本越高現值越低。 3%→6% 的差距在 20 年的指數效應下被放大成 40 萬。 這正是為什麼退休計算機裡「預期報酬率」這個假設那麼敏感。
領 20 年 vs 領 30 年：期數怎麼影響現值
同樣月領 10,000 元、6% 折現率，把年限從 20 年（n=240）拉長到 30 年（n=360）：
| 領取年限 | 期數 n | 年金現值 PVA |
|---|---|---|
| 20 年 | 240 | 1,395,808 |
| 30 年 | 360 | 1,667,916 |
年限從 20 年延長到 30 年（多 10 年），現值只從 139 萬增加到 167 萬， 多了約 27 萬。 相比之下，這 10 年多出 120 筆款項，名目面值是 120 萬， 但折到今天只貢獻 27 萬 —— 因為這 120 筆都是 20〜30 年後才拿到的錢， 每一筆都已被折現到只剩很小的比例。
這揭示了一個關鍵直覺：年金現值對近期款項遠比遠期敏感。 第 1 期的 10,000 元折現後是 9,950 元； 第 240 期折了 240 次只剩 3,021 元；第 360 期更只剩 1,660 元。 遠期款項在現值上幾乎「失重」，延長年限的邊際效益遞減明顯。
年金現值就是貸款本金的另一面
月繳貸款公式是：
M = P × r × (1+r)ⁿ / ((1+r)ⁿ − 1)
移項後得 P = M × (1 − (1+r)^(−n)) / r —— 正是年金現值公式。 「能借多少本金」和「這串月繳款的現值」是同一件事的兩種說法。
月繳 10,000 元、年利率 6%、還 20 年（n=240）： 銀行最多貸給你 1,395,808 元，因為這筆本金在 6% 下恰好等於 240 期月付款的現值。 這就是銀行定價貸款的邏輯。
「月繳 1 萬、年利率 6%、還 30 年，最多能借多少？」 直接套公式：PVA = 10,000 × PVIFA(0.005, 360) = 1,667,916 元。 月繳貸款文章從另一頭入手，給本金算月付； 這裡給月付算本金，兩篇是同一條公式的正反面。
r 和 n 的頻率不一致：月繳但把年利率直接代入 r，
算出來的現值會嚴重低估（折得太兇）。月付款一定要用月折現率（年利率 ÷ 12），
n 也要換算成月數（年數 × 12）。
自己用 Excel 驗算：=PMT*(1-(1+0.005)^(-240))/0.005，
不是 (1-(1+0.06)^(-20))/0.06 —— 後者算出來的數字只是個湊巧相近的錯誤結果。
另一個老問題是 r 用百分比而非小數：6% 要代入 0.005（月利率），不是 0.06 或 6。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供年金現值的互動計算，可以直接調整 PMT、折現率、期數， 即時看到現值與每期折現分量的拆解。