| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| r | 名目年利率（Nominal Annual Rate） | decimal | 0.06（即 6%） |
| n | 每年計息（複利）次數 | 次/年 | 12（月）/ 4（季）/ 1（年） |
| EAR | 實質年利率（Effective Annual Rate） | decimal | 計算結果 |
名目利率 vs 實質利率：廣告數字為什麼不是真正的年化？
「名目年利率」是一個帳面數字，只告訴你一年的利率標籤，但不反映複利帶來的時間效應。 當銀行說「月複利計息」，意思是每個月結算一次利息，下個月的本金就包含上個月賺到的利息—— 利息也在賺利息。這個雪球效應讓年化報酬超過名目利率。
EAR 把這個效應整合進去，給你一個「等效純年利率」： 把 1 元放進去，一年後拿回 (1 + r/n)n 元， 「真正的年化報酬」就是終值減掉本金。 因此，EAR 才是比較不同金融商品的唯一公平基準。
同一個名目利率，月複利的 EAR 高於季複利，季複利高於年複利。 用名目利率直接比大小，就像比兩個人的薪資單但一個是月薪、一個是年薪除以十二， 看起來一樣，實際買到的不一樣。
用真實數字算一遍：r = 6%，不同複利頻率的 EAR 對照表
名目年利率固定 r = 6%，只改每年計息次數 n，看 EAR 怎麼跟著變：
| 複利頻率 | n（次/年） | EAR | 比年複利多 |
|---|---|---|---|
| 年複利 | 1 | 6.00% | — |
| 季複利 | 4 | 6.14% | +0.14% |
| 月複利 | 12 | 6.17% | +0.17% |
| 日複利 | 365 | 6.18% | +0.18% |
以月複利（n = 12）為例，完整計算過程如下： 每月利率 = 6% ÷ 12 = 0.5%，一年複利 12 次： (1 + 0.005)12 = 1.06168…，減去 1 得 EAR = 6.17%。
從月複利到日複利（n = 365），EAR 只從 6.17% 升到 6.18%——邊際效益快速遞減。 廣告強調「日複利」聽起來很厲害，但相較於月複利的實質差異不到 0.01%。 真正影響大的，是「年複利 vs 月複利」這一跳，差了 0.17%。
季複利的計算：每季利率 = 6% ÷ 4 = 1.5%， (1.015)4 = 1.06136…，EAR = 6.14%。 年複利最直接：(1 + 0.06)1 − 1 = 6.00%，EAR 等於名目利率。
信用卡循環利息：月利率 1.5% 的真實年化成本
金管會規定信用卡循環利息月利率上限 1.5%，折算成名目年利率是 1.5% × 12 = 18%。 這個 18% 就是「APR」（Annual Percentage Rate），是名目利率的揭露方式。 但真正的 EAR 是多少？
r = 0.18、n = 12 代入： EAR = (1 + 0.18/12)12 − 1 = (1.015)12 − 1 = 19.56%。 比廣告的名目 18% 高了 1.56%。
聽起來只差一點，但換成欠 10 萬元的循環信用卡債，光這 1.56% 的差距就是 一年多出 1,560 元的利息——在你可能還在每月只繳最低應繳的情況下持續累積。 用 EAR 19.56% 試算還款計畫，才是誠實的數字。
更重要的一點：「月利率 1.5%」是個心理錨點。很多人覺得「才 1.5%」， 但那是月的，不是年的。把它年化得到 19.56%，感受完全不同。 這是 EAR 在消費金融上最有力的應用：讓借款成本無所遁形。
貸款比較實戰：名目利率低不代表成本低
貸款市場常有這種狀況：銀行 A 的名目年利率比較低，但用月複利計息； 銀行 B 的名目年利率稍高，但只做年複利結算。 直接比名目數字，結論可能是反的。
| 選項 | 名目年利率 | 計息方式 | EAR（真實成本） |
|---|---|---|---|
| 銀行 A | 3.6% | 月複利（n = 12） | 3.66% |
| 銀行 B | 3.64% | 年複利（n = 1） | 3.64% |
銀行 A 名目利率 3.6% 看起來比銀行 B 的 3.64% 便宜 0.04%。 但月複利讓銀行 A 的 EAR 達到 3.66%， 反而比銀行 B 的 EAR 3.64% 還貴。 選銀行 A 等於付了更多利息，即使廣告數字說反了。
銀行 A 的計算：r = 0.036、n = 12， EAR = (1 + 0.003)12 − 1 ≈ 3.66%。 銀行 B（年複利）EAR = 3.64%，和名目利率相同（年複利的 EAR 永遠等於名目利率）。 兩家比較，B 便宜 0.02%。
借 500 萬、30 年期，0.02% 的差距換算下來是幾萬元的總利息差異。 選對銀行的基準是 EAR，不是廣告頁面上那個名目數字。
EAR、APY 與 APR：三個術語的關係
金融文件裡常看到三個縮寫，把它們搞混很容易做錯決策：
| 術語 | 全名 | 意義 | 等不等於 EAR？ |
|---|---|---|---|
| EAR | Effective Annual Rate | 考慮複利頻率後的真正年利率 | 是，這就是 EAR |
| APY | Annual Percentage Yield | 美式存款帳戶常用，等同 EAR | 是（同義） |
| APR | Annual Percentage Rate | 台灣/美國常見揭露方式，通常是名目年利率 | 否（= 名目利率 r） |
台灣銀行定存的廣告通常揭露 APR（名目利率），不是 APY（EAR）。 美國部分儲蓄帳戶廣告會同時標出兩者，例如「APR 5.85% / APY 6.02%」—— 兩個數字不一樣的時候，APY 才是你真正拿到的年化報酬。 看到廣告利率，先問：「這是 APR 還是 APY？」
n → ∞ 的極限：連續複利與 EAR 的理論上界
當每年複利次數 n 趨向無限大，公式 (1 + r/n)n 的極限是 er。 所以「連續複利」的 EAR = er − 1，這是給定名目利率 r 時 EAR 的理論上界。
r = 6% 時：連續複利 EAR = e0.06 − 1 ≈ 6.18%。 和日複利（n = 365）的 6.18% 幾乎相同——n = 365 已非常接近極限，繼續加密幾乎無益。 連續複利出現在衍生性商品定價（Black-Scholes 模型、對數報酬計算）裡， 但日常存款和貸款不會真的做到連續複利；理解它的意義在於知道「上限在哪裡」。
r 越大，有限 n 和連續複利的 EAR 差距才會比較明顯。 r = 6% 時幾乎感受不到差異，但 r = 50% 時，n = 12 的 EAR 是 63.21%， 連續複利的 EAR 是 64.87%——差了 1.66%，此時是否連續計息就有實質差別了。
把月利率直接乘以 12 當成 EAR：月利率 1.5% × 12 = 18%，
但 18% 是名目年利率（APR），不是 EAR。正確的 EAR = 19.56%，差 1.56%。
這個做法叫「單純加總」，銀行法規允許這樣揭露成本，但你拿它跟不同頻率的商品比較就會出錯。
另外老問題：r 要代 decimal（0.06），不是百分比（6）。
Excel 算法：=(1+0.06/12)^12-1，不是 =(1+6/12)^12-1。
動手算算看
下面是 ∑ Calc Pro 的實質年利率計算機。把你的存款或貸款利率代進去，直接得出 EAR 做比較。