用法直白：填一個數除 72
| 年化報酬 | 72/r 估算 | 實際值 ln(2)/ln(1+r) | 誤差 |
|---|---|---|---|
| 4% | 18.0 年 | 17.67 年 | +1.9% |
| 6% | 12.0 年 | 11.90 年 | +0.9% |
| 8% | 9.0 年 | 9.01 年 | −0.1% |
| 10% | 7.2 年 | 7.27 年 | −1.0% |
| 15% | 4.8 年 | 4.96 年 | −3.2% |
| 25% | 2.88 年 | 3.11 年 | −7.4% |
結論：4–12% 區間誤差 < 1%，這正好涵蓋人類歷史絕大多數合理長期報酬。 超過 15% 就要校正 — 高利率時 70 比 72 更準，低利率（< 4%）時 73 比 72 略佳。 投資銀行內部偶爾用「Rule of 70」就是這個原因。
為什麼是 72？真正的數學
複利公式：終值 / 本金 = (1 + r)^t。翻倍意味左邊 = 2，所以 (1+r)^t = 2，兩邊取對數：t = ln(2) / ln(1+r)。 ln(2) ≈ 0.693。對小的 r，ln(1+r) ≈ r（一階泰勒展開）。
所以 t ≈ 0.693 / r。但 r 是 decimal（如 0.06），把 r 寫成百分比 R = 100r： t ≈ 69.3 / R。理論上應該叫「69.3 法則」 — 但 69.3 心算難，72 有 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 等好多因數， 而且在 6–10% 區間誤差更小（因為 ln(1+r) 比 r 略小一點，多放幾個單位剛好抵消）。 歷史選擇了 72。
反向用法：要 30 年翻倍要多少報酬？
公式倒過來：r ≈ 72 / t。30 年翻倍要 72/30 = 2.4% 年化。意義：30 年定存 2.4% 等於翻倍。 這比想像中低，因為複利時間長。但通膨 2-3% 會把這「翻倍」幾乎完全吃掉 — 所以理財書才會強調「報酬要 high enough to beat inflation」。
實際情境：退休金估算
25 歲存 100 萬、年化 7%，到 65 歲（40 年）有多少？72/7 ≈ 10.3 年翻倍，40 年翻 4 次（10 × 4 = 40）， 1 → 2 → 4 → 8 → 16，1600 萬。實際 (1.07)^40 ≈ 14.97 倍 = 1497 萬，估算誤差 7%，能心算到這精度已經很實用。
把 r 代成 decimal：公式裡 r 是百分比的「數字」，不是 0.06。 年化 6% 直接代 6，得 72/6 = 12 年。代 0.06 得 1200 年顯然錯。 和 複利終值公式（r 是 decimal）剛好相反，這是 72 法則最常見的陷阱。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 72 法則計算機。試你預期的 ETF 年化、債券殖利率、定存利率。