| 變數 | 意義 | 典型值 |
|---|---|---|
| P | 初始本金（Principal） | 1,000,000 |
| r | 名目年利率（decimal） | 0.06（即 6%） |
| n | 每年複利次數 | 1（年）/ 12（月）/ 365（日） |
| t | 投資年數 | 30 |
| F | 終值（Future Value） | 計算結果 |
n 怎麼影響結果？百萬實測
P = 1,000,000、r = 6%、t = 30 年。改變 n 看結果：
| 複利頻率 n | 終值 F | 比年複利多賺 |
|---|---|---|
| 1（年複利） | 5,743,491 | — |
| 4（季複利） | 5,891,603 | +148,112 |
| 12（月複利） | 6,022,575 | +279,084 |
| 365（日複利） | 6,049,646 | +306,155 |
| ∞（連續複利） | 6,049,647 | +306,156 |
每年多複利一次，到 30 年後差距還能放大 30 萬。但邊際遞減明顯 —— 從月複利（n=12）到日複利（n=365），多賺只增 2.7 萬；繼續加密到連續複利，差幾乎為零。 所以「日複利 vs 連續複利」的廣告話術其實沒太大實質差別。
為什麼是 (1+r/n)^(nt) 而不是 (1+r)^t？
(1+r)^t 是年複利的特例（n=1）。當 n=12（月複利），每月利息是 r/12，一年複利 12 次，所以指數變 12t。 公式分母 n 把年利率切成 n 等份、指數的 n 倍補回頻率提升 —— 數學上就是「把同樣的 r 切細，但複利次數變多」的權衡。
當 n → ∞，公式趨向 P·e^(rt)（連續複利），這就是 e 這個常數出現在金融的根本原因。 歐拉發現 e 的故事就是從研究複利上限開始的（雅各·伯努利 1683 年的問題）。
單利 vs 複利的差距
單利公式是 F = P(1 + rt) —— 利息只算本金。 P=100 萬、r=6%、t=30 年：單利 = 280 萬、年複利 = 574 萬。多賺 294 萬，全是「利上加利」貢獻。 這就是為什麼 72 法則（資金翻倍速度的快速估算）只對複利成立。
r 的單位混淆：r 是 decimal 不是百分比。6% 要代入 0.06，不是 6。 ∑ Calc 公式 #39 在輸入時提示「年利率 %（如 5）」，會自動 /100，因此填整數 6 即可。 自己用 Excel 算的話，記得 = P*(1+0.06/12)^(12*30)，不是 (1+6/12)。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 複利終值計算機。試你的退休金規劃。