| 變數 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| x₁, x₂, … | 每一筆資料的數值 | 視資料而定（薪資 NT$、身高 cm、考試分數） |
| n | 資料筆數 | 正整數 |
| x̄ | 算術平均值（讀作「x bar」） | 與資料同單位 |
意義：平均值是「均分」，不是「典型」
想像三個人吃飯，A 出 200、B 出 300、C 出 700，總共付了 1200 元。 如果三人平分這頓飯，每人「應該」付 1200 ÷ 3 = 400 元 —— 這就是平均值。 它的本質是：把所有人的錢倒進同一個籃子、再平均分回每個人。 注意 400 元並不等於任何人實際付的金額（A 付 200、B 付 300、C 付 700，沒人剛好付 400）。
這就是平均值的關鍵性質：它不必等於資料中的任何一筆，它代表的是「總體被均分後」每個成員的份額。 當資料分布對稱（左右兩側差不多）時，平均值會接近「中間那一個」，這就是它常被當作「典型值」的原因。 但當資料有極端值偏向一邊（例如極少數人賺很多），平均值就會被那些極端值往那邊拉，不再代表「中間」。
從兩數推到 n 個數：累加 ÷ 個數
兩數平均 (x₁+x₂)/2 是最直觀的版本 —— 把兩個數加起來除以 2。 推廣到 n 個數時，邏輯一樣：把所有數加起來，再除以個數：
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n = (1/n) · Σxᵢ
Σ（讀作 sigma）是「加總」的數學符號。
這就是算術平均（arithmetic mean）的標準形式。
∑ Calc 內建的 ?formula=13 計算機是兩數版本（最常用），更多筆資料時可以手動加總後除以筆數，或用試算軟體（Excel AVERAGE()、Google Sheets =AVERAGE()）。
實際應用
1. 為什麼「平均薪資」總比你想像高？
假設一個小公司 9 個員工月薪都是 4 萬，老闆月薪 100 萬。 總薪資 = 9 × 4 + 100 = 136 萬，平均薪資 = 136 / 10 = 13.6 萬。 但 10 個人裡有 9 個都領 4 萬 —— 平均值嚴重高估了「典型員工」的薪水。
這就是右偏分布：少數極大值（老闆、CEO、富豪）把平均值往上拉。 台灣全國「平均」薪資 5.8 萬就是這種狀況； 中位數薪資（把所有人從低到高排，正中間那一個）大約只有 4.3 萬。 當資料有明顯偏態，中位數比平均值更代表「中間的人」。
2. 考試成績：兩個學期的學期平均
學生上學期平均 78 分、下學期平均 86 分。整年的平均是多少？ 直覺反應 (78+86)/2 = 82，這沒錯 —— 但只有當兩學期科目數相同時才對。 如果上學期修 8 科、下學期修 4 科，正確算法是： (78×8 + 86×4) / (8+4) = (624+344)/12 ≈ 80.67，不是 82。 這叫做加權平均，每筆資料按「權重」（這裡是科目數）加總。 忽略權重直接平均，是學生族最常踩的算數陷阱。
3. 運動成績與股票報酬：什麼時候要用幾何平均
股票今年漲 50%、明年跌 50%，平均報酬是 0%？錯。 算術平均 (50% + (−50%)) / 2 = 0%，但實際上 100 元 → 150 → 75，賠了 25%。 這時要用幾何平均：√(1.5 × 0.5) − 1 = √0.75 − 1 ≈ −13.4% 才反映真實年化報酬。 一句話：加法情境用算術平均，乘法情境（成長率、複利）用幾何平均。
(1) 用平均代表「典型」：分布偏態時請優先看中位數。
(2) 忽略權重：不同數量的子群體不可直接平均，要用加權平均。
(3) 用算術平均算成長率：複利、報酬率、人口成長等乘法情境必須用幾何平均。
(4) 平均速率的陷阱：去程 60 km/h、回程 40 km/h，平均速率不是 50，而是調和平均 2/(1/60+1/40) = 48 km/h。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的兩數平均計算機。試試 78 和 86 的平均（學期分數），或者你和另一半薪水的中點。 多筆資料請用試算軟體或自己手動 Σxᵢ ÷ n。