| 變數 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| P | 貸款本金（你跟銀行借的錢） | NT$（或任意貨幣） |
| r | 月利率（年利率 ÷ 12，並轉成小數） | 小數（2% 年利 → 0.02/12 ≈ 0.001667） |
| n | 總期數（年數 × 12） | 月數（30 年 = 360 期） |
| M | 每月固定還款金額 | NT$ |
∑ Calc 為了方便輸入，內部會自動把使用者輸入的「年利率%」（如 2 表示 2%）換算成月利率小數 0.02/12，所以你只要填年利率原始數字即可，不用自己除。
意義：把「現在的一筆錢」和「未來 360 次小額還款」畫等號
銀行借你 P 元，你在未來 n 期裡每期還 M 元。對銀行來說，這 360 次未來收款折現到今天必須等於 P， 才是公平交易（不然銀行賠錢或你賠錢）。 「折現」就是把未來的錢用利率打折扣回今天 —— 一年後的 1.02 元 = 今天的 1 元（年利率 2% 時）。
數學上，這就是把每期 M 元用 r 折回去： P = M/(1+r) + M/(1+r)² + … + M/(1+r)ⁿ
這是個首項 M/(1+r)、公比 1/(1+r) 的等比級數，總和有閉式： P = M · (1 − (1+r)⁻ⁿ) / r
把 M 解出來： M = P · r / (1 − (1+r)⁻ⁿ) = P · r · (1+r)ⁿ / ((1+r)ⁿ − 1)
公式右邊那一坨 r·(1+r)ⁿ/((1+r)ⁿ−1) 叫做資本回收因子（Capital Recovery Factor）， 它把「現在一筆錢」轉成「等額多期還款」 —— 整個房貸、車貸、租賃市場都靠這個因子在運作。
實際試算：1500 萬房貸 30 年
1. 月繳金額長什麼樣
P = 15,000,000、年利率 2%、n = 360 月：
r = 0.02/12 ≈ 0.001667
(1+r)ⁿ = (1.001667)³⁶⁰ ≈ 1.8194
M ≈ 15,000,000 × 0.001667 × 1.8194 / (1.8194 − 1) ≈ 55,447 元
30 年總繳金額 = 55,447 × 360 ≈ 1996 萬。 意思是：你借 1500 萬，最後總共要還回去近 2000 萬，500 萬全是利息。 這就是房貸真實的「總成本」 —— 銀行廣告不會明寫，但公式不會說謊。
2. 為什麼前幾年都在繳利息
第 1 期還款 55,447 元，但本金 1500 萬乘月利率 0.001667 = 25,000 元當期利息。 所以這 55,447 元裡，只有 30,447 元真正還到本金，剩下 25,000 元給銀行當利息。
第 360 期（最後一期）剩下的本金已經很少，利息部分幾乎為零，55,447 元幾乎全部用來還本金。 畫圖出來就是經典的「利息曲線前高後低、本金曲線前低後高」 —— 銀行先把利息收滿，本金留到後面。 這就是為什麼愈早提前還款省愈多利息：前 5 年提前還 100 萬，比後 5 年提前還 100 萬省下的利息差好幾倍。
3. 信用卡循環利息：同一條公式，更狠的數字
信用卡循環利率年利 15%，月利率 = 0.15/12 = 0.0125。 積欠 10 萬元、只繳最低應繳，假設每月最低繳 3000 元，要幾個月才還完？ 解 n：100,000 = 3000 · (1 − 1.0125⁻ⁿ) / 0.0125 → 1.0125⁻ⁿ = 1 − 100,000·0.0125/3000 = 0.5833 → n = ln(0.5833) / ln(1.0125)⁻¹ ≈ 43.5 個月（近 4 年）。 總繳 = 3000 × 43.5 ≈ 13 萬，多付 3 萬利息。 這還是假設你期間沒再刷卡 —— 實際上多數人卡債滾雪球停不下來，根源就是這條公式 r 太大導致 (1+r)ⁿ 暴衝。
(1) 年利率 vs 月利率：公式裡的 r 是月利率。如果你直接代入 0.02 而不是 0.02/12，結果會錯到變天文數字。
(2) 等額本息 vs 等額本金：等額本息每月還相同金額 M；等額本金則每月還相同本金，利息隨剩餘本金遞減，所以前期繳得多、後期繳得少。長期總利息等額本金較低，但前期負擔重。
(3) 忽略其他費用：實際房貸還要加開辦費、徵信費、估價費、火險地震險、履約保證費。
買房請另外計入這些一次性與年費，公式只算「本利」，不算「總購屋成本」。
(4) 寬限期假設：銀行常見「前 1-3 年只繳息不還本」的寬限期方案，寬限期結束後 n 變小但 P 還沒減，月繳會跳一級。試算時要分段算，不能單次套公式。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的月繳貸款計算機。填入 P（本金）、年利率%、期數（月數），它會自動處理利率換算並算出 M。 試試：500 萬本金、年利率 1.85%、240 期（20 年）—— 月繳大約 25,000 元，總繳 600 萬，利息 100 萬。