年金終值：每月存 1 萬，30 年後能累積多少？

變數	意義	單位	典型值
FV	終值（Future Value）	元	計算結果
PMT	每期定額存入（Payment）	元	10,000
r	每期利率（decimal）	—	0.005（月利率 0.5%，對應年利率 6% ÷ 12）
n	總期數	期	360（30 年 × 12 個月）

公式從哪裡來？等比數列一句話推導

想像你每個月底存入一筆 PMT 元。第 1 個月存入的那筆錢， 在第 n 期結束時已經複利了 n−1 期，變成 PMT × (1+r)^(n−1)。 第 2 個月存入的那筆複利了 n−2 期，是 PMT × (1+r)^(n−2)。 依此類推，最後一個月底存入的那筆剛好到期，沒有複利機會，就是 PMT 本身。

把 n 項加起來，是個首項 PMT、公比 (1+r) 的等比數列求和：

FV = PMT + PMT(1+r) + PMT(1+r)² + … + PMT(1+r)^(n−1)

用等比級數求和公式化簡，就得到 FV = PMT × ((1+r)^n − 1) / r。 括號內的 ((1+r)^n − 1) / r 有個專有名詞叫年金終值因子（FVIFA，Future Value Interest Factor of Annuity）， 它代表「每存入 1 元，在利率 r 下存滿 n 期之後的累積倍數」。 把 r 和 n 代進去算出 FVIFA，再乘以你的月存金額，就是答案。

這條公式是「期末年金（ordinary annuity）」版本，假設每筆款項在每期期末存入。 如果改成每期期初存入（annuity-due），終值公式要再乘以 (1+r)， 因為每一筆都多複利了一期。實務上期末版本是主流，銀行定期定額幾乎都用這個假設。

每月存 1 萬，6% 年利率，30 年後是多少？

代入參數：PMT = 10,000、r = 0.005（年利率 6% 除以 12 個月）、n = 360（30 年乘以 12）。

先算年金終值因子 FVIFA：

FVIFA = ((1.005)^360 − 1) / 0.005

(1.005)^360 這個數字可以從 複利終值公式直接查到： 把 100 萬本金放在月利率 0.5% 下滾 360 個月，終值因子正好是 6.0226。 代入得 FVIFA = (6.0226 − 1) / 0.005 = 5.0226 / 0.005 = 1004.5。

FV = 10,000 × 1004.5 = 10,045,150 元。

直接把 10,000 乘以 360 個月只有約 360 萬，終值是 360 萬的兩倍以上。 多出來的那截全部是複利貢獻——前幾年存入的款項滾了將近 30 年， 幾乎把自己變成好幾倍大。你實際出的錢佔終值的比例不到四成。

Excel 驗算：=10000*((1+0.005)^360-1)/0.005，結果相同。

利率怎麼影響結果？3% / 6% / 9% 實測

同樣每月存 10,000 元、存 30 年，把年利率從 3% 改到 9%，終值差距超乎想像：

年利率	月利率 r	期數 n	終值 FV
3%	0.0025	360	5,827,369
6%	0.005	360	10,045,150
9%	0.0075	360	18,307,435

年利率從 3% 翻倍到 6%，終值從 582 萬翻到 1,004 萬，漲幅超過 72%。 再從 6% 升到 9%（只加了 3 個百分點），終值又跳到 1,830 萬，比 6% 多了 823 萬。 這是複利的指數放大效應：利率的影響不是線性的，30 年後會被大幅放大。

換個說法：同樣投入 360 萬本金，在 9% 和 3% 的差距下，30 年後的終值差了約 1,248 萬。 每多爭取 1% 的年化報酬率，在這個時間尺度上代表的是數百萬的差距， 不是「大家差不多」。

早 10 年開始，差多少？

每月存 10,000 元、年利率 6%，比較從 30 歲存到 60 歲（30 年） 與從 40 歲存到 60 歲（20 年）的結果：

投資年限	期數 n	終值 FV
30 年（30 歲開始）	360	10,045,150
20 年（40 歲開始）	240	4,620,409

晚 10 年開始，終值從 10,045,150 元掉到 4,620,409 元，少了 5,424,741 元。 注意成本：晚 10 年少投入的本金是 10,000 × 120 個月 = 120 萬元， 但終值少了 542 萬元——差距是少投入本金的 4.5 倍。 多出來的那一大截損失，純粹是「早期存入的款項失去了 10 年以上的複利時間」。

這個不對稱的根源在於公式裡的指數。最早存入的那幾期款項， 到第 30 年時已複利 350 多次，貢獻遠大於後期的款項。 晚 10 年等於砍掉了 FVIFA 中指數最大的那批項，損失不成比例。 儲蓄起步的時機，比每月存多少更難補回來。

年存 vs 月存：r 和 n 的換算不能偷懶

如果改成每年年底存一次 100,000 元（和月存 10,000 的年投入規模接近）， 年利率直接用 6%，n 用 30 年，套同一條公式：

FV = 100,000 × ((1.06)^30 − 1) / 0.06 = 7,905,819 元

比月存版本的 10,045,150 少了約 214 萬。兩個原因： 一是年存 100,000 的年投入比月存 10,000（年投入 120,000）少了 2 萬； 二是月存讓每筆款項能比年存更早開始複利，最早的一筆款項多複利了最多 11 個月。 頻率本身就是優勢。

換算規則：r 和 n 必須對應到同一個時間單位。 月存時，r 用月利率（年利率 ÷ 12）、n 用月數（年數 × 12）。 季存就 ÷ 4 和 × 4；年存直接用年利率和年數。 這個換算不能省略——把年利率 6%（0.06）直接代入月存的公式， 得出來的數字會高估數十倍，完全不可用。

動手算算看

∑ Calc Pro 提供年金終值的互動計算，可以直接調整 PMT、年利率、年數， 即時看到終值變化，以及各期累積的走勢圖。