| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| a | 首項：第一項的值 | 與數列同單位 | 任意實數 |
| d | 公差：每一項比前一項多多少 | 與數列同單位 | 可正可負，亦可為零 |
| n | 項數：一共加了幾項 | 無單位 | 正整數 |
| S | 前 n 項和 | 與數列同單位 | 計算結果 |
a、d、n 各管什麼？三個數字鎖死整串數列
等差數列的定義只有一句：相鄰兩項的差固定，那個差就是 d。 給定首項 a 與公差 d，第幾項是多少就完全確定了——第 n 項 = a + (n−1)d， 這是 n 的一次函數，d 當斜率、a − d 當截距。
最短的例子：1、2、3 一路數到 10，a = 1、d = 1、n = 10，和是 55。 三個輸入各有分工：a 決定從哪開始、d 決定爬多快、n 決定加到哪裡停。 改 a 讓整串數字平移，改 d 讓間距變寬變窄，改 n 只影響加總的範圍。
d 可以是負數（遞減數列，如本節後面的房貸利息），也可以是零。 d = 0 時每項都等於 a，公式退化成 S = n × a——每月固定存 100 元存 10 個月， 總額就是 1,000 元，不需要公式也算得出來。等差數列和真正的用處是 d ≠ 0 的時候。
用真實數字算一遍：1 加到 100 為什麼是 5050
高斯的解法不是硬加，而是配對：把 1 和 100、2 和 99、3 和 98 兩兩相加，每一組都是 101。100 個數字恰好配成 50 組，所以總和是 50 × 101 = 5050。
公式做的是同一件事。代入 a = 1、d = 1、n = 100： S = (100/2) × (2 × 1 + 99 × 1) = 50 × 101 = 5050。 括號裡的 2a + (n−1)d 其實就是 a + [a + (n−1)d]＝首項 + 末項， 也就是配對出來的那個 101；括號外的 n/2 則是配對的組數。
看懂這層拆解，公式就不必死記：把首項和末項加起來，乘以項數，再除以二。 末項已知時用 S = n(a + l)/2 更快；只知道公差時才需要把 l 展開成 a + (n−1)d。
52 週存錢法一年存多少？365 天版又是多少？
52 週存錢法的規則是遞增存款：第一週 10 元，之後每週比前一週多 10 元。 這是 a = 10、d = 10、n = 52 的等差數列。先算末項：第 52 週要存 10 + 51 × 10 = 520 元。
首項加末項得 10 + 520 = 530，組數是 52 ÷ 2 = 26， 全年總額 S = 26 × 530 = 13,780 元。 月薪族常見的誤判是「每週才幾百塊」——但遞增的尾段很重，後半年 26 週就占掉總額的七成以上。
365 天版把單位縮到元、把項數拉到一年：第一天 1 元、第 365 天 365 元， a = 1、d = 1、n = 365，總額 66,795 元。項數從 52 變 365、公差從 10 變 1， 結果卻將近五倍——因為和對 n 是平方級成長（n² 項來自 n × n/2），對 d 只是線性。
| 存錢挑戰 | a | d | n | 全期總額 |
|---|---|---|---|---|
| 52 週・首週 10 元遞增 | 10 | 10 | 52 | 13,780 |
| 365 天・首日 1 元遞增 | 1 | 1 | 365 | 66,795 |
要反過來設定目標也可以：把 S 當已知、解 d。公式對 d 是一次的，移項就得 d = (2S/n − 2a)/(n−1)， 不必試誤。這類「每期多存固定金額」的規劃是等差；若改成「每期成長固定百分比」， 就換成複利那條等比的公式了。
n 是項數，不是末項。題目說「從 7 開始每次加 3，一路加到 100」， n 不是 100。先用 n = (末項 − 首項) ÷ d + 1 算項數：(100 − 7) ÷ 3 = 31， 加一得 32 項，S = (32/2) × (2 × 7 + 31 × 3) = 1,712。 把 100 誤當 n 代進去會得到 (100/2) × (2 × 7 + 99 × 3) = 15,550，是正確答案的九倍有餘。 那個除法還兼任檢查：除不盡就表示 100 根本不在這個數列上，題目本身有問題。
和 = 項數 × 平均：公式其實在講這件事
把 (n/2)[2a + (n−1)d] 改寫成 n × (首項 + 末項)/2，右邊那一項正是 平均值。等差數列有個漂亮性質： 整串數字的平均數就等於首末兩項的平均，不必把每一項加起來除以項數。 1 到 100 的平均是 (1 + 100)/2 = 50.5，乘以 100 項即 5050。
這個視角讓等差數列和在財務上有直接用途。以等額本金（本金平均攤還）房貸為例： 借 1,200,000 元、分 12 期、月利率 0.5%。每期攤還的本金固定為 1,200,000 ÷ 12 = 100,000 元，所以剩餘本金每期等額下降，利息也跟著等額下降。
第 1 期利息 1,200,000 × 0.5% = 6,000 元，之後每期少付 100,000 × 0.5% = 500 元。這就是 a = 6,000、d = −500、n = 12 的遞減等差數列， 利息總額 S = (12/2) × (2 × 6,000 − 11 × 500) = 39,000 元。
換個算法驗證：12 期的剩餘本金分別是 12、11 … 1 個單位的 100,000 元， 單位數加總 1 + 2 + … + 12 = 78，利息總額就是 500 × 78 = 39,000 元，兩條路同一個答案。 要注意的是等額本息的利息不是等差數列—— 月繳固定時本金攤還逐期加速，利息遞減的幅度每期都在變，得用年金公式而非這條。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 等差數列和計算機，填 a、d、n 得 S。