| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| a | 斜率：x 每加 1，y 加 a | y 單位 ÷ x 單位 | 非零實數 |
| b | y 截距：與 y 軸的交點 | y 的單位 | 任意實數 |
| x | 自變數，你給的輸入 | 視題目 | 公里 / 度 / GB |
| y | 因變數，算出的輸出 | 視題目 | 元 / 度 |
a 和 b 各管什麼？一個管斜度、一個管起點
用手機資費當最短的例子：月租 399 元含 5 GB、超量每 GB 加 100 元，寫成 y = 100x + 399。 沒超用時 x = 0，帳單即截距本身 399 元；超用 3 GB 得 100 × 3 + 399 = 699 元。
分工乾淨：a 只影響「漲得多快」，b 只影響「從哪裡開始漲」。 改 a 讓線變陡或變緩、起點不動；改 b 讓整條線平移、斜度不變。 圖形永遠是直線，因為 a 固定——每往右一格就爬 a。
| 參數 | 圖形與情境（a < 0 則左上往右下） |
|---|---|
| a > 0 | 左下往右上：用越多付越多 |
| a = 0 | 水平線 y = b：吃到飽，非一次函數 |
| b = 0 | 通過原點：純正比，如 y = 25x |
b = 0 即國中的「正比」；多出來的 b 正是現實中「基本費」「固定成本」的位置。
用真實數字算一遍：計程車車資 y = 25x + 53.75
以台北市計程車日間費率為例：起程 1.25 公里 85 元，之後每 200 公尺 5 元。 先把續程費率換成每公里：5 × (1000 ÷ 200) = 25 元／公里，即 a。
b 不能直接填 85：85 元買到的是「前 1.25 公里」，而截距問的是 x = 0 的值， 得把那段續程費扣掉——b = 85 − 25 × 1.25 = 53.75， 完整算式 y = 25x + 53.75，x 為總里程（公里）。
代入 5 公里：y = 25 × 5 + 53.75 = 178.75 元。 沒有人搭 0 公里付 53.75 元——它是直線往左延伸到 y 軸才出現的虛擬值，式子只在 x ≥ 1.25 內有意義。 截距不必然可實現，只是方程式的參數。
| 里程 x（公里） | y = 25x + 53.75 | 比前一列多 |
|---|---|---|
| 3 | 128.75 | — |
| 4 | 153.75 | +25 |
| 5 | 178.75 | +25 |
每一列固定多 25 元——「差值恆定」是一次函數的辨識特徵。拿到一串數據先算相鄰兩項的差：差固定是一次函數， 差本身等比縮放才是指數函數。
把階梯當直線：真實跳表每 200 公尺跳一次、不足也算一段。 5 公里的續程是 3,750 公尺、共 19 段（18.75 向上進位），實收 85 + 19 × 5 = 180 元， 比直線模型的 178.75 元多 1.25 元。 y = 25x + 53.75 是階梯的內插直線，估價可以、對帳會差在進位上。 階梯電價與雲端按量計費同理：連續模型算得出小數，計費系統只收整段。
只知道兩個點，怎麼倒推 a 和 b？
實務上更常見的是反方向：有兩組對應數據、要找出那條直線。兩點決定一條直線，a 與 b 都解得出來。
以攝氏華氏為例，已知兩點是水的凝固點 (0, 32) 與沸點 (100, 212)。 斜率取 y 的變化量除以 x 的變化量：a = (212 − 32) ÷ (100 − 0) = 1.8； 代回 x = 0 時 y = 32 得 b = 32。完整式子 F = 1.8C + 32。
驗一遍：室溫 25 °C 得 F = 1.8 × 25 + 32 = 77 °F；體溫 37 °C 得 98.6 °F， 正是華氏體溫計上那條紅線。a = 1.8 意即攝氏每升 1 度、華氏升 1.8 度，華氏刻度比攝氏密。
往回換解反函數：C = (F − 32) ÷ 1.8，美國常見的 100 °F 對應 37.8 °C。 a ≠ 0 的直線不會有兩個 x 對到同一個 y，故必可逆，反函數斜率是原斜率的倒數。
再問一個小問題：攝氏和華氏會在哪裡讀到同一個數字？解 1.8C + 32 = C 得 C = −32 ÷ (1.8 − 1) = -40。 −40 °C 與 −40 °F 是同一個溫度，這是兩套刻度唯一重合的點。
兩條直線交在哪裡？損益兩平的代數解
上一節的溫度問題就是「兩條直線求交點」的特例（y = 1.8x + 32 與 y = x）；同一招放到生意上即損益兩平。 假設一家咖啡店月固定成本 39,000 元，一杯賣 250 元、食材與杯耗 120 元。 營收是通過原點的正比 y = 250x；總成本是一次函數 y = 120x + 39,000。 兩式相等解 x：(250 − 120)x = 39,000，得 x = 300 杯。
交點意義是「賣到第 300 杯時營收剛好蓋住成本」：營收 250 × 300 = 75,000 元、 總成本同為 75,000 元，利潤零。單價減變動成本的 130 元是每杯邊際貢獻， 固定成本除以它即所需杯數——見損益兩平點。
越過交點之後，利潤本身也是一次函數：利潤 = 130x − 39,000。 月賣 400 杯時利潤 = (250 − 120) × 400 − 39,000 = 13,000 元。 一次函數的斜率在整個定義域上不會變——但真實世界的變動成本會隨採購量下降， 所以直線模型只在斜率穩定的區間內可信。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 一次函數計算機，填 a、b、x 得 y。