a 的兩個工作：方向 + 寬窄
a > 0 開口朝上（U 形）；a < 0 開口朝下（∩ 形）。 |a| 越大開口越窄，|a| 越小開口越寬。a = 1 是「標準寬度」、a = 0.5 拋物線變胖一倍、a = 2 變瘦一半。 物理上的拋體運動公式 y = −½g·t² 就是 a = −4.9 的拋物線（地球上 g = 9.8 m/s²），這就是為什麼丟東西的軌跡是拋物線。
頂點 x = −b/(2a)：對稱軸在哪
拋物線是對稱的，對稱軸就是頂點所在的垂直線。為什麼是 −b/(2a)？ 配方法：y = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a)。括號內 x = −b/(2a) 時整個平方項為 0，y 達到極值（min 或 max）。 所以頂點座標 (−b/(2a), c − b²/(4a))。
記憶捷徑：把 a, b 兩個係數對折抹個負號就得對稱軸 x 座標。 應用：想知道丟一顆球到最高點什麼時候、什麼高度？v₀t − ½g·t² 是 a = −g/2、b = v₀、c = 0， 最高時刻 t = v₀/g、最高高度 v₀²/(2g)。所有運動學公式都從這出來。
判別式 b² − 4ac：根的「身分證」
| Δ = b² − 4ac | 實根數量 | 幾何意義 |
|---|---|---|
| > 0 | 2 個不同實根 | 拋物線與 x 軸交於兩點 |
| = 0 | 1 個重根 | 頂點剛好在 x 軸（相切） |
| < 0 | 無實根（共軛複根） | 整條拋物線在 x 軸上方或下方 |
這就是 公式 #24 判別式 真正在算的東西。求根公式 x = (−b ± √Δ)/(2a) 裡， 根號內就是判別式 —— Δ 若為負，根號出現虛數單位 i，這正是複數系統最早被「逼出來」的地方（16 世紀 Cardano 解三次方程式）。
實際應用：求最佳化問題
某商品定價 p 元時，銷量 = 100 − p 件，利潤函數 = p × (100 − p) − 成本 = −p² + 100p − 成本。 這是 a = −1 的二次函數，頂點 p = −100/(2×−1) = 50 元。 無需微積分，二次函數頂點公式直接給最佳定價。 所有「U 形 / ∩ 形」最佳化問題在高中數學階段都靠這招。
a = 0 還叫二次函數嗎？不叫。a = 0 時方程式變成 y = bx + c，是一次函數。 「二次」的定義就是 a ≠ 0，所以 ax² + bx + c 這個寫法隱含 a ≠ 0 的前提。 高中題目寫「設 f(x) = ax² + bx + c 為二次函數」，背後條件是 a ≠ 0 — 推導時請保留這個前提，不要把 a 設為任意值。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 二次函數計算機。輸入 x 求 y。