| 變數 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| x₁, y₁ | 第一個點的 x、y 座標 | 長度（公尺、像素、任意一致單位） |
| x₂, y₂ | 第二個點的 x、y 座標 | 同上 |
| d | 兩點間的直線距離（永遠 ≥ 0） | 同 x, y |
推導：把兩點之間畫出一個直角三角形
平面上隨便取兩個點 P₁(x₁, y₁) 與 P₂(x₂, y₂)。 從 P₁ 畫一條水平線、從 P₂ 畫一條垂直線，這兩條線會在 (x₂, y₁) 交會。 現在出現了一個直角三角形：
水平邊長 = |x₂ − x₁|（兩點 x 座標差的絕對值）
垂直邊長 = |y₂ − y₁|（兩點 y 座標差的絕對值）
斜邊 = P₁ 到 P₂ 的直線距離 d
套勾股定理 c² = a² + b²：
d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
兩邊開方（距離永遠非負，取正根）：
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
注意：差的平方 (x₂−x₁)² 和 (x₁−x₂)² 相等，所以誰減誰沒差，最後都會被平方變正。 也因為這個性質，距離公式自動滿足對稱性 d(P₁, P₂) = d(P₂, P₁) —— 你從 A 走到 B 和從 B 走到 A 一樣遠。
實際應用
1. 螢幕觸控與遊戲 AI：點到底點到了什麼？
手機螢幕上有一顆按鈕在 (200, 500)，使用者觸點落在 (215, 510)， 距離 d = √(15² + 10²) = √325 ≈ 18 px。 系統會設一個「容差半徑」（通常 44 px 以上符合 Apple HIG 觸控目標標準）， 只要 d 小於這個半徑就算「點到了」。這就是按鈕、連結、地圖標記的命中判定背後的數學。
遊戲也一樣：兩個角色距離小於 5 個單位才能近戰攻擊、敵人 AI 偵測範圍 30 公尺、爆炸傷害以距離平方反比衰減 —— 每一個 if 判斷後面都是這條公式。
2. 機器學習的 K 近鄰（KNN）演算法
假設你蒐集了一堆水果的「重量」與「直徑」，標記哪些是蘋果、哪些是橘子。 現在拿到一顆未知水果，量出 (重量, 直徑)，要判斷它是蘋果還是橘子。 KNN 的做法：把這顆未知水果看成 (x, y) 平面上的一個點，計算它跟所有已知水果的距離，找出最近的 K 顆（例如 K=5）。 這 5 顆裡如果蘋果多就判蘋果，橘子多就判橘子。 整個演算法的核心就是兩點距離公式 —— 只是 (x, y) 換成 (重量, 直徑) 而已。 推廣到 n 維特徵時，只要把更多項加進根號內：d = √(Σ(xᵢ − yᵢ)²)。
3. 三維距離：把公式推廣到立體空間
空間中兩點 P₁(x₁, y₁, z₁) 與 P₂(x₂, y₂, z₂)， 距離公式直接多加一項：
d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
這就是 3D 遊戲、CAD 軟體、無人機定位用的公式。 連 GPS 算「衛星到接收器距離」時，本質上也是把地心當原點建立 3D 座標系後的歐氏距離。
(1) 直接套在經緯度上：(經度差)² + (緯度差)² 開根號得到的不是兩城市的距離。
地球是球面，要用Haversine 公式（球面三角學）才正確。
短距離（< 100 km）誤差還能忍，跨洲就會錯到離譜（赤道 1° 經度 ≈ 111 km，但兩極 1° 經度 ≈ 0 km）。
(2) 混淆歐氏距離與曼哈頓距離：城市裡開車不能切對角線，得照街區走，
這時要用 |x₂−x₁| + |y₂−y₁|（曼哈頓距離 / 計程車距離）。
機器學習做特徵相似度時也常用，對極端值更穩健。
(3) 忘記開根號：如果你只是要比較「誰比較近」、不需要實際距離，可以省下開根號的計算（平方後比大小結果一樣），這在效能敏感的程式裡很有用 —— 但別把 d² 拿來當 d 報出去。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的兩點距離計算機。 試試 (0,0) 到 (3,4) ——這就是經典的 3-4-5 勾股數，答案是 5。 或試你家門牌座標到公司大樓座標的直線距離（用 Google Maps 抓 lat/lng 後乘上 111000 約略換算成公尺，短距離可用）。