| 變數 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| a | 直角三角形的一條直角邊 | 長度（m、cm、任意一致單位） |
| b | 直角三角形的另一條直角邊 | 同 a |
| c | 斜邊（對直角的那條邊，永遠最長） | 同 a |
幾何意義：三個正方形的面積關係
勾股定理不是抽象的代數關係，它在說一件視覺上的事： 以三角形的三條邊各畫一個正方形，那兩個小正方形的面積加起來，剛好等於大正方形的面積。 a 邊上的正方形面積是 a²、b 邊上的是 b²、c 邊上的是 c²。 這就是 c² = a² + b² 的「面積版本」說法。
這個說法的好處是：它把「邊長」的代數問題轉成「面積」的幾何問題。 面積看得到、剪得開、能對齊 —— 而代數要靠符號操作。 幾何證明能繞過代數技巧，純粹靠「把東西移到等大的位置」就完成。
證明：把同樣的四個三角形排兩次
畫一個邊長 (a+b) 的大正方形。在裡面用兩種不同方式擺四個全等的直角三角形。
擺法一：把四個三角形貼在大正方形四個角落，每個角落各一個，斜邊朝內。 中間留下一個邊長 c 的小正方形（因為四個斜邊圍出的就是 c 邊）。 這時剩下的空白面積 = c²。
擺法二：把同樣的四個三角形重新排成兩對矩形，每對拼成一個邊長 a×b 的矩形。 剩下的空白被切成兩塊正方形，一個 a×a、一個 b×b。 這時剩下的空白面積 = a² + b²。
兩種擺法在同一個大正方形裡，三角形佔的面積也一樣（四個全等三角形）。 所以「剩下的空白」必然相等：c² = a² + b²。 證明只用了「面積守恆」這個小學就會的事，沒動到任何高深代數。
實際應用
1. 勾股數：整數解的優雅特例
當 a, b, c 都是整數時，叫做勾股數。最小的一組是 (3, 4, 5)：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。 其他常見：(5, 12, 13)、(8, 15, 17)、(7, 24, 25)、(20, 21, 29)。 施工放樣常用 3-4-5 規則畫出真正的直角 — 把繩子打三個結，分成 3:4:5 的三段拉開，圍出的就是 90°。 這是 GPS 還沒發明前所有木工 / 砌磚工的標準技術。
2. 兩點距離公式：勾股定理的座標版本
平面上任兩點 P₁(x₁, y₁) 與 P₂(x₂, y₂) 的距離怎麼算？ 畫一條水平線、一條垂直線，得到一個直角三角形： 水平邊長 |x₂ − x₁|、垂直邊長 |y₂ − y₁|、斜邊就是兩點距離 d。 直接套勾股定理：
這條公式是國中座標幾何的基石，也是機器學習裡 Euclidean distance 的源頭。 擴展到三維 (x, y, z) 或 n 維時，只要把更多項加進根號內就行 —— 勾股定理在每個維度都成立。
3. 建築與螢幕對角線
標 27 吋的螢幕到底有多大？「27 吋」指的是對角線長 27 吋。 16:9 螢幕的寬高比例代入：寬 = 16k、高 = 9k、對角線 = √(256k² + 81k²) = √337 · k。 √337 ≈ 18.36，所以 k = 27/18.36 ≈ 1.47。 寬約 23.5 吋（59.7 cm）、高約 13.2 吋（33.6 cm）。 下次買螢幕看廣告寫「27 吋」就能心算實際尺寸。
誤用在非直角三角形：勾股定理只對直角三角形成立。 一般三角形要用餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)， 其中 C 是 a、b 兩邊的夾角。 當 C = 90° 時 cos(C) = 0，餘弦定理就退化成勾股定理 —— 勾股是餘弦定理的特例。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的勾股定理計算機。試試 a=3、b=4 看是不是 5；或試你家螢幕的對角線。