e 的 x 次方怎麼算？自然指數 eˣ 與連續複利

變數	意義	單位	典型值
x	指數，通常是速率 × 時間	無單位	−3 到 3
e	自然對數的底，固定常數	無單位	2.718281828
eˣ	自然指數函數值	無單位	恆大於 0

e 從哪裡來？100 萬連續複利算一遍

伯努利 1683 年問過一題：本金 1 元、年利率 100%，一年結算一次，年底拿到 2 元； 改成每月結算、利息滾入本金呢？(1 + 1/12)¹² = 2.6130 元。 再切細，每天結算得 2.7146 元，每小時（一年 8760 次）得 2.7181 元。

數字沒有無限膨脹，而是往上限收斂，上限就是 e = 2.718281828。 再怎麼細分也只多千分之一——複利終值 講的邊際遞減在這裡被推到盡頭。

利率換成 r、年數換成 t，複利頻率推到無限大，P(1 + r/n)^nt 就收斂成 P·e^rt。 100 萬、6%、30 年：年複利 P(1.06)³⁰ = 5,743,491 元， 連續複利 P·e^1.8 = 6,049,647 元，相差 306,156 元。 沒有銀行每一瞬間結息，這個差額就是「複利頻率」的理論天花板。

沒有計算機怎麼算 eˣ？泰勒級數手算

eˣ 展開成無窮級數：1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + …，分母是階乘，收斂極快。 以 x = 1 逐項累加，看它怎麼逼近 e：

取到第幾項	累計和	取到第幾項	累計和
3 項	2.5	6 項	2.716667
4 項	2.666667	9 項	2.7182788

9 項就對到小數第 5 位。對照前一節：每小時結算 8760 次才勉強對到小數第 4 位， 級數加 9 項就超越它——算 eˣ 一律走級數，理由就在這裡。

eˣ 常用值表與負指數的讀法

x	eˣ	x	eˣ
−2	0.1353	1	2.718281828
−1	0.3679	2	7.3891
0	1	3	20.0855

e⁰ = 1，每條指數模型在 t = 0 都回到初始值。負指數等於倒數， e⁻¹ = 1 ÷ 2.718281828 = 0.3679，成長與衰減共用一條公式、 只差 x 的正負號；eˣ 永遠為正，再大的負指數也只逼近 0、碰不到 0。

x 每加 1，結果乘上 e 倍：7.3891（x = 2）到 20.0855（x = 3） 是乘 2.718281828，不是加固定量；推到 x = 10 已是 22,026.4658。 指數的可怕不在起點陡，在它從不減速。

eˣ 在哪些公式裡出現？藥物代謝與實質年利率

衰減寫成 A·e^−kt，k = ln 2 ÷ 半衰期。咖啡因半衰期約 5 小時，k = 0.1386 / 小時。中午喝下 100 毫克，8 小時後還剩 100 × e^−0.1386×8 = 32.99 毫克，約一杯濃縮咖啡的量——這是下午的咖啡會影響睡眠的定量理由。 碳十四定年、電容放電、牛頓冷卻用的都是這條式子。

金融這端，連續複利的實質年利率 EAR 是 e^r − 1。名目 6% 連續複利的 EAR 是 6.18%， 月複利則是 (1 + 0.06/12)¹² − 1 = 6.17%。 差距落在小數點後第二位，但廣告寫「連續複利」聽起來就是比「月複利」強—— 把兩個數字擺在一起，話術就沒有空間了。

從結果回推 x 則用自然對數：ln(eˣ) = x。72 法則 的分子來源正是 ln 2，取整成 72 只因為它的因數多、好心算。

動手算算看

下面是 ∑ Calc 自然指數計算機，輸入任意實數 x 即得 eˣ。