| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| x | 被開方數，幾何上即正方形面積 | 面積（m²）或無單位 | x ≥ 0 |
| √x | 算術平方根，幾何上即正方形邊長 | x 單位的平方根（m） | 非負實數 |
200 平方公尺的正方形地坪，邊長是幾公尺？
先夾擠：142 = 196、152 = 225， 200 落在兩者之間且靠近 196，邊長因此在 14 與 15 之間、偏 14。 精算得 √200 = 14.142 公尺，四邊圍籬合計 4 × √200 = 56.57 公尺。
單位也要跟著開方：面積單位是平方公尺，開完根號剩下公尺。 反過來量到邊長再平方就回到面積——平方 與平方根互為往返，和立方與立方根的關係一致。
地坪從 200 平方公尺擴到 400 平方公尺，面積是兩倍，邊長卻只從 14.142 公尺變成 20 公尺，倍率 √2 = 1.4142，只多 41.42%。 想讓邊長翻倍，面積得變四倍。預算抓在面積上、感受卻在長度上，估工程量最易在此低估。
沒有計算機怎麼開平方？夾擠法與牛頓迭代
夾擠法只要記得平方表。200 夾在 196 與 225 之間，兩者相差 29，200 比 196 多 4， 按比例補 4/29：14 + 4/29 ≈ 14.14。誤差不到千分之一，工地夠用。
要更準就用牛頓迭代，規則是「猜一個數，把它和『被開方數除以它』取平均」。 從 14 出發：200 ÷ 14 = 14.285714，與 14 取平均得 14.142857，一輪就對到小數第 4 位。
把 14.142857 再代回同一式，得 14.142——與真值的前 7 位小數完全相同。 每迭代一次有效位數約翻倍，計算機內部跑的就是這套邏輯。
1 到 15 的平方根表與心算用法
| x | √x | x | √x | x | √x |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 2.4495 | 11 | 3.3166 |
| 2 | 1.4142 | 7 | 2.6458 | 12 | 3.4641 |
| 3 | 1.7321 | 8 | 2.8284 | 13 | 3.6056 |
| 4 | 2 | 9 | 3 | 14 | 3.7417 |
| 5 | 2.2361 | 10 | 3.1623 | 15 | 3.8730 |
表裡只有 1、4、9 開得盡，根號值是 1、2、3，其餘都是無理數。 完全平方數往上還有 16、25、36、⋯、400， 而 √400 = 20。
配合提取平方因數就能擴充。√200 拆成 √(100 × 2) = 10 × √2，查表得 √2 = 1.4142，乘 10 即得 14.142，與前面精算一致。 同理 √50 = 5√2、√300 = 10√3：先把完全平方數提到根號外，剩下的查表。
√x 在其他公式裡做什麼？
最常見的是還原長度。畢氏定理算對角線： 長 6 公尺寬 8 公尺的房間，對角線 √(6² + 8²) = 10 公尺， 搬長桌進不進得去就看這個數。兩點距離同理。
圓面積反推半徑也要開方：要圍出 50 平方公尺的 圓形區域，r = √(50 ÷ π) = 3.99 公尺——面積公式裡半徑是平方項。
金融的波動率也靠開方：波動度隨時間的平方根放大，不是等比放大。 日波動 1% 換算年化要乘 √252（一年約 252 個交易日），得 15.87%； 月波動 5% 換算年化乘 √12，得 17.32%。把「乘以 252」當年化會大到不能看。 標準差同理，變異數開平方後才與原始資料同單位。
√(a+b) 不等於 √a + √b。a = 9、b = 16 時，√(9+16) = √25 = 5， 但 √9 + √16 = 3 + 4 = 7。根號可以拆乘除（√(ab) = √a·√b），不能拆加減。 第二個是正負號：√(x²) 等於 |x| 而不是 x，x = -5 時 √((-5)²) = 5， 負號在平方時已被吃掉，開方只會給回非負值。解方程式時 x² = 25 有 ±5 兩個解， 但 √25 這個符號本身只代表 5，兩件事不要混為一談。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 平方根計算機，輸入面積或任意非負數值即得結果。