圓面積怎麼算？πr² 公式拆解

變數	意義	單位	典型值
A	圓的面積	長度單位的平方（cm²、m²、in²）	披薩 113.10 in²
r	半徑：圓心到圓周任一點的距離	長度（cm、m、in）	5 ～ 20 cm
π	圓周率：任何圓的周長除以直徑	無單位（純比值）	3.14159…

πr² 是怎麼來的？把圓剪成扇形拼成長方形

把一個圓沿半徑切成很多片等寬的扇形，像切披薩那樣。再把這些扇形一正一反交錯排開， 拼出來的圖形會愈來愈接近一個長方形。切得愈細，邊緣的鋸齒愈平。

這個長方形的長是多少？所有扇形的弧加起來，正好是整個圓周長的一半，也就是 πr。 寬呢？每一片扇形的高就是圓的半徑 r。長方形面積 = 長 × 寬 = πr × r = πr²。

這個推導的價值在於它解釋了「為什麼是平方」：面積是兩個長度相乘，其中一個長度來自圓周（帶 π）， 另一個長度來自半徑本身。π 不是後來硬乘上去的修正係數，它從圓周長 C = 2πr 一路帶進來。

半徑 10 公分算一遍，四種尺寸對照

半徑 10 公分：先平方得 100，再乘 π，得 314.16 平方公分。 兩步驟，順序不能顛倒——先乘後平方會把 π 也一起平方，那是另一個數字。

半徑 r（cm）	r²	面積 A = πr²（cm²）
1	1	3.1416
5	25	78.54
10	100	314.16
15	225	706.86
20	400	1,256.64

半徑 1 的圓面積剛好就是 π 本身：3.1416。這是 π 最直觀的定義之一——單位圓的面積。

從表格看得出面積增加的速度：半徑從 10 變成 20（加倍），面積從 314.16 變成 1,256.64， 正好是 4 倍。平方項讓半徑的變化被放大兩次方。 更小的變動也是同一個規則：半徑只增加 10%，面積增加 21%， 因為 1.1 的平方是 1.21，不是 1.1。

只知道直徑或周長，怎麼換算？

現實中量到的常常不是半徑。捲尺量圓桌會得到直徑，繞著花圃走一圈會得到周長。兩條路徑都通。

已知直徑 d：半徑是直徑的一半，代入得 A = π(d/2)²。 一張直徑 24 公分的圓形披薩烤盤，面積是 452.39 平方公分。

已知周長 C：從 C = 2πr 反解得 r = C/(2π)，代回面積公式得 A = C²/(4π)。 一座周長量到 20 公尺的圓形花圃，面積是 31.83 平方公尺。 這條路徑在無法走到圓心的場合特別有用——樹幹、水塔、圓形廣場，繞一圈永遠比找圓心容易。

反過來由面積求半徑：把公式倒過來得 r = √(A/π)。 要搭一頂遮蔭 50 平方公尺的圓形帳篷，需要的半徑是 3.99 公尺， 直徑接近 8 公尺。先想清楚要多大的地，再回推尺寸，比先買帳篷再發現放不下務實。

環形怎麼算？外圓減內圓

水管截面、墊圈、跑道內側草皮以外的環狀區域，算的都是同一件事：大圓面積減小圓面積。

外半徑 10 公分、內半徑 6 公分的環，面積是 201.06 平方公分。 注意括號的位置：要先做 R² − r²，再乘 π。寫成 π(R − r)² 是完全不同的東西， 那算的是一個半徑 4 公分的圓，數字會小到只剩四分之一左右。

一個 12 吋披薩，還是兩個 9 吋？

披薩的吋數標的是直徑。12 吋披薩的面積是 113.10 平方吋； 9 吋披薩兩個加起來是 127.23 平方吋。兩個 9 吋多出 14.14 平方吋， 約多一成二。

直覺會說「9 加 9 是 18，比 12 大很多」，但面積比的是平方：兩個 9 吋等價於單一個 √2 × 9 ≈ 12.7 吋的披薩，只比 12 吋大一點點。所以當兩個 9 吋的價格明顯高於一個 12 吋時， 單價其實較差。同一套算法可以直接搬去比較蛋糕、鍋具、遮陽傘。

再看一個直接換成錢的例子：一塊直徑 2 公尺的圓形地毯，面積是 3.1416 平方公尺， 以每平方公尺 1,200 元計價，材料費是 3,769.91 元。 若店家報價時把直徑當半徑算，同一塊地毯會被開成 4 倍價。

動手算算看

下面嵌入 ∑ Calc 的圓面積計算機。試試把半徑輸入 10 是不是 314.16， 或把你手上量到的直徑除以 2 再填進去。