| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| x | 底數：自乘一次的數，幾何上即正方形邊長 | 無單位或長度（m、cm） | 1 ～ 100 |
| x2 | 平方值，即正方形面積 | x 單位的平方（m²、cm²） | 計算結果 |
12 公尺見方是幾平方公尺？幾坪？
邊長 12 公尺的正方形，面積 12 × 12 = 144 平方公尺。 單位要跟著平方：邊長是公尺，面積就是平方公尺（m²）。
坪的定義是 6 台尺見方。1 台尺為 10/33 公尺，6 台尺即 20/11 公尺， 所以 1 坪 = 400/121 = 3.3058 平方公尺，144 平方公尺即 144 × 121 ÷ 400 = 43.56 坪。換算式裡的 121 和 400 都是平方數並非巧合——換的是面積，比例就得平方。
換成施工數量一樣直接：60 公分見方的地磚每片 0.36 平方公尺， 144 ÷ 0.36 = 400 片；改鋪草皮每平方公尺 450 元， 料費 144 × 450 = 64,800 元。只知道面積要回推邊長就開平方： √144 = 12 公尺。
邊長只多 1 公尺，面積多多少？
12 公尺變 13 公尺，面積從 144 變 169，多出 25 平方公尺。 邊只長 1 公尺卻多這麼多，因為多出來的是兩條 12 公尺長的邊條加一個 1×1 角落： (x+1)² − x² = 2x + 1，代 x = 12 得 2 × 12 + 1 = 25。 增量隨 x 遞增，這是平方和一次項最根本的差別。
放大倍率的效果更劇烈。邊長 12 變 24（兩倍），面積從 144 變 576， 正好 4 倍；變 18（1.5 倍）則是 324， 2.25 倍，多了 125%。 規則只有一句：長度乘 k，面積乘 k²。
單位換算是同一條規則的特例：1 公尺 = 100 公分，k = 100，所以 1 平方公尺 = 100² = 10,000 平方公分，不是 100。 把長度的換算倍率直接搬去用在面積上，會差兩個數量級。
1 到 15 的平方表與末位數規律
| x | x² | x | x² | x | x² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 |
末位數只會出現 0、1、4、5、6、9 六種，永遠不會是 2、3、7、8——末位由底數末位決定， 而 0 到 9 自乘的末位只有那六個值。宣稱是完全平方數卻以 2、3、7、8 結尾的答案， 不用開根號就能判定是錯的。
x² 在其他公式裡做什麼？
平方很少單獨出現，它通常是別的公式裡決定成長速度的那一項。 圓面積 πr²：半徑 6 公尺得 π × 36 = 113.10 平方公尺。把它內切進邊長 12 公尺的正方形， 佔比是 π/4 = 78.54%——圓多大都一樣，因為兩者都是平方項。
畢氏定理 a² + b² = c² 用的也是同一個運算： 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。三個平方數之間的關係決定了直角是否成立。
動能 ½mv² 把平方放在速度上： 1,500 公斤的車時速 50 公里，動能 144,676 焦耳；時速加倍到 100 公里， 動能不是加倍而是 578,704 焦耳，剛好 4 倍。煞停距離與車禍傷害隨速度惡化得那麼快，都是 v² 的後果。
平方也常出現在分母。萬有引力與點光源亮度都是 1/d²：距離拉遠到 3 倍， 只剩 1/9 ＝ 11.1%。同一盞燈退後三步，桌面照度掉的幅度接近九成， 不是三分之二。
(a+b)² 不等於 a²+b²。a = 3、b = 4 時 (3+4)² = 49， a² + b² 卻是 25，差的 24 正是交叉項 2ab = 2 × 3 × 4。 展開式 (a+b)² = a² + 2ab + b² 的 2ab，幾何上就是正方形裡的兩塊長方形。 第二個高頻錯誤是負號：−3² 依運算順序先平方再取負，得 −9；要得到 9 必須寫成 (−3)²。 輸入負數時務必補括號。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 平方計算機，輸入邊長或任意數值即得結果。