為什麼是平方？從功能定理推導
靜止物體被定力 F 加速行進距離 d，作功 W = Fd。 牛頓第二定律 F = ma，等加速直線運動 v² = 2ad，所以 d = v²/(2a)。 代入：W = ma × v²/(2a) = ½mv²。 動能就是「把物體從靜止加速到速度 v 所需的功」 —— 等號右邊的 ½ 不是補丁，是積分自然產生的。
數學上：F = m·dv/dt，W = ∫F dx = ∫m·v dv（換變數 dx = v dt）= ½mv²。 這條公式是「功能定理」的最簡形式，能量守恆所有形式都從它衍生。
實例：車禍能量比較
| 速度 | v² 因子 | 動能（1500kg 車） |
|---|---|---|
| 30 km/h（8.3 m/s） | 69 | 52 kJ |
| 60 km/h（16.7 m/s） | 278 | 208 kJ（4×） |
| 90 km/h（25 m/s） | 625 | 469 kJ（9×） |
| 120 km/h（33.3 m/s） | 1111 | 833 kJ（16×） |
超速 100%（60 變 120），動能變 16/4 = 4 倍，撞擊能量、煞車距離、致死率都跟著放大。 這就是道路速限不是「超一點點沒關係」的物理理由 —— 速度只翻倍，要消耗的能量翻 4 倍。
實例 2：高處摔落 vs 平地撞擊
從 1 公尺高度自由落下，落地速度 v = √(2gh) ≈ 4.4 m/s。 動能 ½ × 70 × 4.4² ≈ 678 J。 這個能量等於什麼？大約是時速 12.3 km/h 撞牆的能量。 所以從 1 公尺高摔下對 70 kg 成人不算嚴重 —— 但從 5 公尺高（v ≈ 9.9 m/s），動能放大 5 倍，相當於時速 35 km/h 直接撞地。 這就是工安規定為什麼把 1.8 公尺視為「墜落高風險」分水嶺。
動能與動量混淆：動量 p = mv（線性）、動能 Ek = ½mv²（平方）。 兩物體相同動量時動能不一定相同：小質量高速 vs 大質量低速。 子彈質量小（5 g）但速度高（800 m/s），動量 = 4 kg·m/s，動能 = 1600 J（殺傷力來源）； 搬磚工抱 80 kg 慢走 0.05 m/s，動量也是 4，但動能只有 0.1 J。 動量決定撞擊後對方獲得多少 momentum，動能決定能造成多少形變、產熱、破壞。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 動能計算機。試騎機車的動能 vs 走路。