| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| R | 串聯電阻 | Ω（歐姆） | 10,000（10 kΩ） |
| C | 對地電容 | F（法拉） | 0.0000001（100 nF） |
| fc | 截止頻率，又稱 −3 dB 點、轉角頻率 | Hz（赫茲） | 計算結果 |
| |H(f)| | 振幅比（輸出 ÷ 輸入） | 倍率 | f = fc 時為 0.707107 |
| φ | 輸出相對輸入的相位落後 | 度（°） | f = fc 時 45 |
10 kΩ 配 100 nF，截止頻率落在哪？
代進去：fc = 1 / (2π × 10,000 Ω × 0.0000001 F) = 159.15 Hz。 單位要先換算到 Ω 與 F，100 nF 是 0.0000001 F，不是 100。 分母的 RC 等於 0.001，就是這顆濾波器的時間常數 τ，也就是 1 毫秒—— RC 時間常數那篇算的是同一組零件的時域行為。
兩者的換算只差一個常數：fc = 1/(2πτ)。 時域問「充到 63% 要多久」、頻域問「多高的頻率開始被壓下去」，是同一顆 RC 的一體兩面： τ 愈大反應愈慢，能通過的最高頻率就愈低。 把電阻與電容對調就變成高通濾波器，fc 仍是 1/(2πRC)——光看公式不能斷定低通或高通，要看拓樸。
「截止」不是切斷：fc 這一點還有 70.71% 通過
fc 的定義是振幅掉到輸入的 1/√2 的頻率，即 70.7107%，衰減 3.0103 dB—— 業界口語的「−3 dB 點」精確值是 3.0103，不是整數 3。 選 1/√2 是因為功率正比於電壓平方：振幅剩 1/√2 時功率剛好剩一半， fc 的物理意義就是半功率點。
| f / fc | 頻率（Hz） | 通過比例 | 衰減（dB） | 相位落後 |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 15.92 | 99.5037% | 0.0432 | 5.71° |
| 0.5 | 79.58 | 89.4427% | 0.9691 | 26.57° |
| 1 | 159.15 | 70.7107% | 3.0103 | 45° |
| 2 | 318.31 | 44.7214% | 6.9897 | 63.43° |
| 10 | 1,591.55 | 9.9504% | 20.0432 | 84.29° |
| 100 | 15,915.49 | 1.0000% | 40.0004 | 89.43° |
兩件常被忽略的事。通帶內不是完全不動：fc 的一半處已掉 0.9691 dB、只剩 89.4427%， 要幾乎不受影響得退到 fc 的十分之一，那裡還有 99.5037%。 相位比振幅更早偏掉：十分之一處已落後 5.71°，做控制迴路時這會先吃掉相位裕度。
每十倍頻只掉 20 dB：一階濾波器有多鈍
從 fc 的 10 倍（衰減 20.0432 dB）走到 100 倍（衰減 40.0004 dB），中間差 19.9572 dB。 這是一階 RC 的漸近斜率：每十倍頻 20 dB，每八度音程 6 dB。 斜率只在遠離 fc 處才接近，fc 附近是平滑轉彎、不是折線。
20 dB/decade 聽起來不少，用起來很鈍：想把干擾壓到百分之一（衰減 40.0004 dB）， 干擾頻率得在 fc 的一百倍以外。訊號與干擾只差 10 倍頻時，一階 RC 最多給你 20.0432 dB， 還是把 fc 壓在訊號上緣換來的。這就是改用二階濾波器的理由。
反解：要壓掉 50 Hz 市電雜訊，R 和 C 怎麼配？
場景：慢速感測器（溫度、壓力、電池電壓）的輸出被 50 Hz 市電干擾，要壓到原來的 1% 左右。 反解需要 f / fc ≈ 100，fc 要落在 0.5 Hz 附近。 選標準件 R = 330 kΩ、C = 1 µF，得 fc = 0.4823 Hz。
驗算 50 Hz 的實際衰減：|H| = 1/√(1 + (50/0.4823)²) = 0.9645%，即 40.31 dB， 原本 100 mV 的市電漣波被壓到 0.965 mV，達成目標。
代價寫在時域：τ = R × C = 0.33 秒，要等 5τ = 1.65 秒輸出才算穩定。 這是一階濾波器的硬取捨——衰減量與反應速度由同一個 fc 決定， 想多壓 20 dB 就得把 fc 再降十倍、反應慢十倍。 感測器若每秒要讀十次，就得改走二階濾波器或數位陷波，而不是繼續加大電容。
另一個方向：音訊前端要在 20 kHz 設抗混疊濾波，挑 C = 1 nF， 反解 R = 1/(2π × 20,000 × 0.000000001) = 7,957.75 Ω；E24 沒有這個值， 最近的 8.2 kΩ 讓實際 fc 變成 19,409.14 Hz。 選值一定要回代驗算——零件只有離散規格，理想值幾乎不會剛好存在。
串兩級不等於陡兩倍：−3 dB 點會往下搬
把兩級相同的 RC（各 10 kΩ 配 100 nF、中間用運算放大器隔開）串起來，振幅響應變成單級的平方。 在 159.15 Hz 這一點，振幅從 70.7107% 變成一半，衰減 6.0206 dB——那裡已經不是 −3 dB 點。
新的 −3 dB 點往低頻搬：解 (1 + x²)⁻¹ = 1/√2 得 x = √(√2 − 1) = 0.6436， 整體 fc = 159.15 × 0.6436 = 102.43 Hz。 換到的是遠端斜率翻倍——十倍頻處從衰減 20.0432 dB 變成 40.0864 dB。
串級同時做兩件事：遠端變陡、轉角往內縮。設計要以最終的 102.43 Hz 回推， 不是拿單級的 159.15 Hz 當整體截止頻率。兩級之間若沒有緩衝器，第二級會對第一級形成負載， 實際 fc 還會再低一些。
容差直接傳到 fc，沒有根號可以幫忙
fc 與 R、C 成單純反比，兩者的誤差直接相乘傳遞。取電阻 ±1%、積層陶瓷電容 ±10%：
| 情境 | R | C | fc（Hz） | 相對標稱 |
|---|---|---|---|---|
| 標稱值 | 10 kΩ | 100 nF | 159.15 | — |
| 兩者都偏大 | +1% | +10% | 143.25 | 低 9.99% |
| 兩者都偏小 | −1% | −10% | 178.63 | 高 12.23% |
標稱 159.15 Hz 的濾波器實際可能落在 143.25 到 178.63 Hz，寬度超過三成。 兩側還不對稱：倒數關係讓偏小側的 12.23% 大於偏大側的 9.99%，容差愈大愈明顯。
對照 LC 諧振頻率：電容在根號裡， 同樣 +10% 的誤差只讓頻率偏 4.65%，被開根號壓掉將近一半。RC 沒有這個緩衝， 要 fc 準就得把錢花在電容上——電阻升到 ±0.1% 只省一個百分點。 陶瓷電容還會隨直流偏壓與溫度漂移，X7R 在額定電壓下掉三到五成並不罕見，比 ±10% 更傷。
把 2π 掉了。寫成 fc = 1/(RC) 會得到 1,000 Hz， 正確答案是 159.15 Hz，整整差了 6.2832 倍。 根源是混淆角頻率與頻率：1/(RC) 算出來的是角頻率 ωc，單位 rad/s，要再除以 2π 才是 Hz。 判斷方法很簡單——算出漂亮的整數就先懷疑 2π 掉了，帶 2π 的結果幾乎不可能是整數。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 的 RC 截止頻率計算機。填入電阻與電容得到 fc 與各頻率衰減量，也可固定目標頻率回推零件值。