常用對數 log 怎麼算？log x 的定義與換底公式

變數	意義	單位	典型值
x	取對數的對象，必須為正數	無單位	大於 0
log x	10 要幾次方才等於 x	無單位	任意實數
底數 10	常用對數固定的底，寫作 log₁₀ 或省略	無單位	10

log x 是什麼？10 的幾次方等於 x

log 是 10^y 的反運算：指數由次方算結果，對數由結果回推次方。 10⁰ = 1，所以 log 1 = 0；10¹ = 10，所以 log 10 = 1； 10² = 100，所以 log 100 = 2。

x	log x	x	log x
1	0	5	0.6990
2	0.3010	7	0.8451
3	0.4771	10	1

x 從 1 漲到 10，log x 只從 0 爬到 1；再漲十倍到 100，也只再加 1。 輸入乘以 10、輸出加 1，壓縮能力讓橫跨十幾個數量級的資料 （氫離子濃度、聲音功率、地震能量）畫得進同一張圖。

用真實數字算一遍：pH、分貝與地震規模

pH 值定義成 pH = −log[H⁺]。胃酸的氫離子濃度約 0.01 M，pH = −log 0.01 = 2；純水在 25°C 是 0.0000001 M， pH = 7。兩者相差 5 個 pH 單位，實際濃度差 10⁵ = 100,000 倍。

分貝同理。音壓比轉分貝是 20 log(V/V₀)：音壓變成兩倍，只增加 20 × 0.3010 = 6.0206 分貝。功率比則用 10 log(P/P₀)： 功率放大十倍才換得 10 分貝。

芮氏規模每差 1 級，振幅差 10 倍、釋放能量差 10^1.5 = 31.6228 倍。規模 5 與規模 7 只差 2 級，能量卻差 1000 倍。

換底公式：log 與 ln 只差 2.3026 倍

同一個 x，用不同底取對數只差一個固定常數：log x = ln x ÷ ln 10， 而 ln 10 = 2.3026。驗一次：ln 2 = 0.6931， 除以 2.3026 得 0.3010，正是 log 2。

比例問題的答案因此與底數無關。「年報酬 6% 幾年翻倍」解的是 (1 + r)^t = 2， 兩邊取 log 得 t = log 2 ÷ log 1.06 = 0.3010 ÷ 0.0253 = 11.8957 年，與 用 ln 算 的結果一模一樣，分子分母的 2.3026 被約掉了； 72 法則的心算值就是它的近似。

寫程式時最容易踩到底數的雷：多數語言的 log(x) 其實是 ln，要常用對數得叫 log10(x)。 把 ln 100 = 4.6052 當成 log 100 = 2 來用， 誤差就是那個 2.3026 倍。

運算律與位數速算：2 的 100 次方有幾位？

三條運算律把乘除次方各降一級，也是對數表當年能取代手算乘法的原因：

運算律	效果	實例	結果
log(ab) = log a + log b	乘法變加法	log 4 + log 25	2
log(a/b) = log a − log b	除法變減法	log 100 − log 4	1.3979
log(aⁿ) = n·log a	次方變乘法	10 × log 2	3.0103

核對第一列：log 4 = 0.6021、log 25 = 1.3979， 相加得 2，而 4 × 25 = 100，log 100 確實是 2。 第三列：2¹⁰ = 1024，log 1024 = 3.0103， 等於 10 × 0.3010；因為它略大於 3，1024 就比 1000 大一點點。

位數速算是常用對數獨有的好處：正整數 N 的位數等於 log N 取整後加 1。 2 的 100 次方有幾位？log(2¹⁰⁰) = 100 × 0.30103 = 30.103，取整後加 1 得 31 位，不必真的算出那個數。

動手算算看

下面是 ∑ Calc 常用對數計算機，輸入正數即得 log x。