自然對數 ln 怎麼算？ln x 的定義與翻倍年數

變數	意義	單位	典型值
x	取對數的對象，必須為正數	無單位	大於 0
ln x	e 要幾次方才等於 x	無單位	任意實數
e	自然對數的底，固定常數	無單位	2.718281828

ln x 是什麼？它是 eˣ 的反運算

自然指數 eˣ 由指數算出結果，ln 由結果回推指數， 兩者互為反函數：ln(e^x) = x，e^{ln x} = x。 所以 ln 1 = 0，ln e = 1。

x	ln x	x	ln x
1	0	3	1.0986
2	0.6931	5	1.6094
e	1	10	2.3026

x 從 2 漲到 10（五倍），ln x 只從 0.6931 漲到 2.3026。 ln 把乘法壓成加法，這是對數尺度能把跨量級資料畫進一張圖的原因。

x 介於 0 與 1 之間時 ln x 為負：ln 0.5 的絕對值就是 0.6931、符號取負。

100 萬幾年翻倍？用 ln 把時間解出來

複利終值寫成 P(1 + r)^t。問「幾年翻倍」就是解 P(1 + r)^t = 2P， 本金 P 兩邊消掉——100 萬或 1000 萬，翻倍年數一樣，只看報酬率。 剩下 (1 + r)^t = 2，t 卡在指數上，兩邊取 ln 才拉得下來：t = ln 2 ÷ ln(1 + r)。

年報酬 6%：ln 2 = 0.6931，ln 1.06 = 0.0583， t = 0.6931 ÷ 0.0583 = 11.8957 年； 年報酬 5% 要 14.2067 年，少 1 個百分點就多等 2.3110 年。

72 法則估同一題是 72 ÷ 6 = 12 年， 與精算的 11.8957 年幾乎重合——72 法則正是 ln 2 ≈ 0.6931 取整放大後的心算版本。

改成連續複利，P·e^rt = 2P 取 ln 後更乾淨：t = ln 2 ÷ r = 0.6931 ÷ 0.06 = 11.5525 年，比年複利縮短 0.3432 年。 那是複利頻率的理論天花板，不是任何銀行的實際條件。

反問報酬率也一樣：100 萬要在 20 年變成 300 萬，即 (1 + r)²⁰ = 3， 取 ln 得 r = e^{ln3 ÷ 20} − 1 = 5.6467%。這是解出需求，不是預測市場給得出這個數字。

ln 的運算律與換底公式

三條運算律把乘除次方各降一級，是 ln 成為計算工具的根本原因：

運算律	效果	實例	結果
ln(ab) = ln a + ln b	乘法變加法	ln 6 與 ln 2 + ln 3	1.7918
ln(a/b) = ln a − ln b	除法變減法	ln 6 − ln 3	0.6931
ln(aⁿ) = n·ln a	次方變乘法	ln 8 與 3 × ln 2	2.0794

第一列逐項核對：ln 6 = 1.7918，ln 2 + ln 3 = 0.6931 + 1.0986 = 1.7918。第三列同理，ln 8 = 3 × 0.6931 = 2.0794； 這條正是前一節把 t 從指數位置拉下來的依據——ln((1+r)^t) = t·ln(1+r)。

換底公式讓 ln 一把抓所有底數：log_b x = ln x ÷ ln b。 1000 是 2 的幾次方？log₂ 1000 = ln 1000 ÷ ln 2 = 9.9658， 略小於 10，所以 2¹⁰ = 1024 比 1000 大一點。

ln 在哪裡出現？碳十四定年與衰減常數

凡是「已知衰減比例、反推時間」的題目都用得到 ln。衰減寫成 A·e^−kt， 衰減常數 k = ln 2 ÷ 半衰期。碳十四半衰期 5730 年，k = 0.6931 ÷ 5730 = 0.000121 / 年。

樣本的碳十四只剩原始含量 25%，年代就是 t = ln 4 ÷ k = 11,460 年， 正好是 5730 的兩倍——ln 4 = 2 × ln 2 這條運算律在這裡直接看得到。

同一套式子換到藥物代謝、電容放電與 實質年利率的連續複利換算，只有 k 的名字改掉。

動手算算看

下面是 ∑ Calc 自然對數計算機，輸入正數即得 ln x。