| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| R | 電阻值（resistance） | Ohm (Ω) | 100 Ω ～ 10 MΩ |
| C | 電容量（capacitance） | Farad (F) | 1 pF ～ 4,700 µF |
| τ | 時間常數，電壓走完剩餘差距 63.21% 所需的時間 | 秒 (s) | 計算結果 |
| V₀ | 電源電壓（充電）或起始電壓（放電） | Volt (V) | 3.3 V、5 V、12 V |
10 kΩ 配 100 µF，τ 到底是多久？
先把單位換成公式要的樣子：10 kΩ 是 10⁴ Ω、100 µF 是 10⁻⁴ F。 相乘得 τ = 1 秒，也就是 1,000 毫秒。這組零件被選作主例， 正是因為中間值乾淨、好手算。
「歐姆乘法拉為什麼會變成秒」值得花三行拆開：1 F 的定義是 1 庫侖／伏特， 1 Ω 依 歐姆定律 是 1 伏特／安培， 而 1 A 就是 1 庫侖／秒。乘起來伏特和庫侖都被約掉，只剩下秒。 所以這個乘積不是湊出來的係數，它本來就是一段時間。
接上 5 V 電源，經過一個 τ，電容電壓是 5 × (1 − e⁻¹) = 3.1606 V， 佔電源的 63.21%。這個比例和 R、C 的數值完全無關 —— 不管配出 1 秒還是 1 微秒，一個 τ 永遠是 63.21%。 τ 的角色是把時間軸縮放，不是決定終點。
一個 τ 不是充飽：從 63.21% 到 99.33% 的五段
每過一個 τ，電容就把「還差多少才到電源電壓」這段差距走掉 63.21%， 剩下的 36.79% 留到下一個 τ 再走 63.21%。差距永遠除不盡，理論上永遠到不了 5 V。
| 經過時間 | 充到電源的 | 5 V 電路的實際電壓 |
|---|---|---|
| 1 τ | 63.21% | 3.1606 V |
| 2 τ | 86.47% | 4.3233 V |
| 3 τ | 95.02% | 4.7511 V |
| 4 τ | 98.17% | 4.9084 V |
| 5 τ | 99.33% | 4.9663 V |
工程上的慣例是「五個 τ 就當充飽」，本例就是 5 秒後到 4.9663 V。這不是物理定律，是 0.67% 的誤差小於多數電路的容差， 再等下去沒有意義。想要更嚴格就用 7 τ（99.91%），但零件本身的容差早就超過那個數量級。
放電是同一條曲線倒過來：經過一個 τ，電壓剩下 36.79%， 5 V 的電容掉到 1.8394 V。 這條 e⁻ᵗ 的形狀和 指數衰減 完全相同，差別只在衰減常數被寫成 1/τ 而不是 k。
最容易被誤記的是「充到一半」：不是 0.5 τ，而是 ln2 = 0.693 τ。 充到 90% 要 ln10 = 2.3026 τ，充到 99% 要 ln100 = 4.605 τ。 半衰期比例尺和倍數比例尺在指數世界裡是同一套，差一個 自然對數。
反解：要幾秒到位，R 和 C 該配多少？
實務上規格給的是時間，零件自己挑。把充電式反解得到 t = τ × ln(1 ÷ (1 − k))，其中 k 是目標比例；再用 τ = RC 拆成零件值。
舉例：要讓電容在 2 秒內充到電源的 90%。 ln10 = 2.3026，所以 τ = 2 ÷ 2.3026 = 0.8686 秒。 手上有 10 µF 的電容，電阻就要 R = 0.8686 ÷ 10⁻⁵ = 86,859 Ω， 也就是 86.86 kΩ。實作時取 E24 系列的 91 kΩ（最接近）或 82 kΩ， 再回頭確認偏移是否吃得下。
放電方向同樣常用。5 V 的電容要掉到 1 V（多數 3.3 V 邏輯的低準位門檻之上一點）， 需要 ln5 = 1.6094 τ。注意這裡用的是起始與目標的比值， 不是差值 —— 從 5 V 掉到 1 V 和從 10 V 掉到 2 V 花的時間一模一樣。
R 和 C 在公式裡地位對等，乘積相同就得到相同的 τ，選擇依據是其他限制： 電阻大到百萬歐姆等級時，MCU 腳位的漏電流會開始污染結果； 電容大則便宜地拉長時間，但電解電容的漏電流與容差又是另一個問題。
555 的「1.1RC」是哪來的？按鍵去彈跳又要多久？
翻開 555 計時器的資料手冊，單穩態模式的脈衝寬度寫成 T = 1.1 × R × C。 那個 1.1 不是經驗值，是上一節那條反解式算出來的： 555 的門檻接在 2/3 VCC，所以 T = τ × ln(1 ÷ (1 − 2/3)) = τ × ln3 = 1.0986 τ。
資料手冊把 1.0986 寫成 1.1，高估了 0.13%。 以 100 kΩ 配 10 µF（τ = 1 秒）來說，誤差是 1.39 毫秒 —— 遠小於電容本身的容差，所以手冊這樣寫完全合理。知道 1.1 等於 ln3 的好處是： 換成別的門檻電壓時，自己就推得出新的係數，不必再找一張表。
另一個天天在用的場景是機械按鍵去彈跳。按鍵接點閉合時會在 1 ～ 10 毫秒內 彈跳出好幾次通斷，MCU 會讀成連按。在腳位前加一組 RC 低通， 取 R = 10 kΩ、C = 1 µF，得到 τ = 10 毫秒。
真正該算的不是 τ，是電壓越過邏輯門檻的時刻。門檻取 0.7 VDD， 需要 ln(1 ÷ 0.3) = 1.204 個 τ，也就是按下後 12.04 毫秒才會被判定為有效。 這 12.04 毫秒同時是去彈跳的保護窗，也是使用者摸得到的延遲。 彈跳期若長到 15 毫秒，這組 RC 就擋不住，得把 C 加大 —— 代價是延遲等比例拉長。
容差直接傳到 τ，沒有根號幫忙
LC 諧振頻率 裡， 零件容差被根號壓扁一半（電容偏 5%，頻率只偏 2.41%）。RC 沒有這個待遇： R 和 C 都是一次方，誤差 1 比 1 原封不動傳到時間上。
電解電容的標稱容差常是 ±20%，有些型號甚至標 −20%／+80%。 以主例 τ = 1 秒計算，光是電容一項就讓 τ 落在 0.8 到 1.2 秒之間。再加上電阻 ±5%，最差情況是 1.05 × 1.2 = 多出 26%，而「五個 τ 充飽」的時間從 5 秒變成 6.3 秒。
結論很直接：RC 適合做「大約多久」，不適合做計時基準。 需要準確時間就用石英振盪器，誤差單位是 ppm 而不是百分之幾十； RC 的任務是去彈跳、上電重置、濾波這類差個幾成也不影響功能的工作。
同一組 R 和 C 換到頻域看是低通濾波器，截止頻率 fc = 1 ÷ (2πτ)。 去彈跳那組 τ = 10 毫秒對應 15.92 Hz， 主例 τ = 1 秒對應 0.159 Hz。 時域的「反應慢」和頻域的「只讓低頻通過」是同一件事的兩種說法， 這也是為什麼去彈跳電路順便就濾掉了接點的高頻雜訊。
把 kΩ 和 µF 直接代進公式。 這是 RC 計算第一名的錯誤，而且它不會報錯，只給出一個差一千倍的數字。 470 kΩ 配 2.2 µF 的正確答案是 1.034 秒； 把 470 和 2.2 直接相乘得到 1,034，當成秒就是 17.23 分鐘。 記一條捷徑就不會錯：kΩ × µF 直接得到毫秒，MΩ × µF 直接得到秒 （10³ × 10⁻⁶ = 10⁻³，10⁶ × 10⁻⁶ = 10⁰）。 第二名的錯誤是把 τ 當成充飽時間 —— 一個 τ 只到 63.21%，用它當延遲規格的電路，會在電壓還沒站穩時就被判定為就緒。
動手算算看
下面是 ∑ Calc 的 RC 時間常數計算機。填入電阻與電容得到 τ 與各段充放電電壓，也可以反過來固定時間回推零件值。