| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| A₀ | t = 0 時的初始量 | 依題目 | 200 毫克咖啡因 |
| k | 連續變化率，正為成長、負為衰減 | 每單位時間 | 咖啡因 −0.1386 /小時 |
| t | 經過時間，單位須和 k 一致 | 小時 / 天 / 年 | 8 |
| A | t 時刻的量 | 同 A₀ | 計算結果 |
k 怎麼求？200 毫克咖啡因的 8 小時實測
題目很少直接給 k，給的是「半衰期」或「倍增時間」。咖啡因在健康成年人體內的半衰期約 5 小時。半衰期 T 的意思是 t = T 時剩一半，代入得 e^(kT) = 0.5，兩邊取自然對數後 kT = −ln 2，於是 k = −ln 2 / T。ln 2 固定是 0.693，所以咖啡因的 k = −0.693 / 5 ≈ −0.1386（每小時）。
A₀ = 200 毫克、下午三點喝完，之後的殘留量如下。
| t（小時，15:00 起算） | 殘留量 A（毫克） |
|---|---|
| 0 | 200 |
| 5（一個半衰期） | 100 |
| 8（睡前） | 65.98 |
| 10（兩個半衰期） | 50 |
| 16（隔天早上） | 21.76 |
| 24 | 7.18 |
關鍵是砍半的是「當下的量」，不是初始量：200 砍到 100 花 5 小時，100 砍到 50 也是 5 小時，但後面這段只消掉 50 毫克。 衰減前陡後平，同樣的等待換到的效果越來越少。
反過來問「剩 10 % 要多久」只是把公式倒解：t = T·ln(A₀/A) / ln 2，代 A₀ = 200、A = 20 得 16.61 小時——那杯要到隔天早上七點多才降到 10 %。
成長側：90 天從 1,200 人到 4,800 人，k 是多少？
成長題給的是兩個時間點的量，要反解 k：把 A = A₀·e^(kt) 兩邊取 ln 得 k = ln(A/A₀) / t。使用者 90 天內從 1,200 人變成 4,800 人，比值 4 倍，所以 k = ln 4 / 90 ≈ 0.0154（每天），倍增時間 ln 2 / k = 45 天——90 天翻 4 倍就是翻兩次倍。 模型也能回填沒量到的日子，第 30 天的理論值是 1,905 人。
| 天數 t | 模型值（人） |
|---|---|
| 0 | 1,200 |
| 30 | 1,905 |
| 90 | 4,800 |
| 180 | 19,200 |
| 365 | 331,794 |
表中只有 t = 0 與 90 是實測，其餘都是模型值；外推到一年就暴露問題：模型說 331,794 人。 把 45 天翻倍硬套 365 天，等於假設沒有市場上限、沒有獲客成本上升、沒有流失。 真實成長曲線幾乎都是 S 形，早期像指數、後期趨平， 指數模型因此只適合內插與短期外推。
為什麼用 e？任何底數都能換成 e
「每年成長 5 %」直覺上寫成 A₀·1.05^t，但兩者是同一條線：1.05^t = e^(t·ln 1.05)， 所以 k = ln 1.05 ≈ 0.0488。任何底數 b 都能寫成 e^(kt)、k = ln b。 e 不是必要的，是方便的——微分 e^(kt) 得 k·e^(kt)，變化率正好等於當下量的 k 倍，連續變化的模型因此統一成同一個形狀。
驗一下有沒有失真：k = 0.0488 跑 30 年得 e^(kt) = 4.322 倍，和 1.05^30 完全相同；100 萬本金 30 年後是 4,321,942 元，與複利終值一文用 P(1+r/n)^(nt) 算出的數字一致。衰減方向同理，「每年掉 10 %」是 0.9^t， k = ln 0.9 ≈ −0.1054 而不是 −0.1，兩者差 5.4 %。
k 與倍增時間只差一個 ln 2，順手可以檢驗 72 法則的精度：
| 情境 | k | 倍增時間 ln2/k | 72 法則估計 |
|---|---|---|---|
| 年成長 5 %（每年複利） | 0.0488 | 14.21 年 | 14.4 年 |
| 年率 6 %（連續複利） | 0.06 | 11.55 年 | 12 年 |
72 法則在 5 % 到 10 % 這段的最大誤差落在 5 % 這端，高估 1.4 %，心算夠用； 但它只是 ln 2 / ln(1+r) 的近似，利率越極端誤差越大。
e 的形式在金融上有個具體對應：連續複利，也就是 A₀·e^(kt) 在 k = 名目年利率時的樣子。 100 萬、年率 6 %、30 年，一年複利一次得 5,743,491 元，連續複利得 6,049,647 元，差 306,156 元。
半衰期 3 小時和 7 小時差多少？個體差異實測
咖啡因半衰期的常見引用範圍是 3 到 7 小時。這個差異會被放大多少？ 把 t 固定在 8 小時算兩端：
| 半衰期 T（小時） | k（每小時） | t = 8 小時的殘留量（毫克） |
|---|---|---|
| 3（代謝快） | −0.231 | 31.50 |
| 5（平均） | −0.1386 | 65.98 |
| 7（代謝慢） | −0.099 | 90.57 |
半衰期只差 2.3 倍（3 比 7），殘留量卻差 2.9 倍——T 在指數的分母， k 的變化會被 e 再放大一次。代謝快的人睡前剩 31.50 毫克、代謝慢的剩 90.57 毫克，同一杯咖啡對兩個人不是同一件事。
k 的誤差不是線性傳遞，是指數傳遞——用這條公式做決策前， 先問 k 是量出來的還是猜出來的，再決定結果要信到第幾位數。
kt 很小的時候可以不用 e 嗎？
可以。e^x 的泰勒展開是 1 + x + x²/2 + …，x 很小時後面的項可以丟掉，於是 e^x ≈ 1 + x——這就是短期小幅成長可以直接用百分比加減的原因。誤差有多大：
| kt | e^(kt) 真值 | 低估幅度 |
|---|---|---|
| 0.05 | 1.0513 | 0.12 % |
| 0.5 | 1.6487 | 9.02 % |
| 1 | 2.71828 | 26.4 % |
界線很清楚：kt = 0.1 時線性近似只低估 0.47 %，心算就夠； kt 到 0.5 低估 9.02 %、到 1 低估 26.4 %，非用公式不可。 回到使用者成長 k = 0.0154：kt 累積到 0.1 要 6.5 天，所以用 1 + kt 估一週（7 天）只低估 0.54 %；但講到一個月，kt 是 0.46、低估 7.89 %，就得老實算 e^(kt)。
把半衰期的倒數當成 k：k 是 ln 2 / T，不是 1 / T。半衰期 5 小時的 k 是 0.1386，不是 1 / 5 = 0.2；用 0.2 算 t = 8 會得到 40.38 毫克，比正確的 65.98 毫克少 38.8 %。少掉的 ln 2 = 0.693 就是誤差來源。
k 與 t 的單位不一致：k = −0.1386 是「每小時」，t 就得填小時。 想改用天，k 要先乘 24；直接把 t = 1（天）代進每小時的 k， 算出來是一小時後的值，差了 23 小時。公式不會報錯，只會安靜給錯答案。
把「每期變化 x %」直接當成 k：每年成長 5 % 的 k 是 ln 1.05 = 0.0488 而不是 0.05。前者是離散的期末複利率，後者是連續的瞬時率； 題目寫「連續」或「瞬時」才可以直接當 k 用。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供這條公式的互動計算。先用 A₀ = 200、k = −0.1386、t = 8 對一下答案是不是 65.98，再換成自己的數字；只有半衰期或倍增時間的話， 先用 k = ln 2 / T 換算，正負號由衰減或成長決定。