| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| W | 機械功（Work），力沿位移方向傳遞的能量 | Joule (J) = N·m | 計算結果 |
| F | 施力大小。注意這是力，不是質量 | Newton (N) | 10 ～ 10,000 |
| d | 物體實際發生的位移，不是走過的路徑長 | metre (m) | 0.1 ～ 100 |
| θ | 力向量與位移向量的夾角 | degree (°) | 0 ～ 180 |
| g | 重力加速度，抬舉類題目用來把公斤換成牛頓 | m/s² | 9.81 |
25 公斤抬上 1.5 公尺要作多少功？實算一遍
倉儲最常見的動作：地上一箱 25 公斤的貨，抬到 1.5 公尺高的貨架上。 第一步不是乘，是換單位 —— 公斤是質量，公式要的是力。 等速抬起時施力剛好抵銷重力，所以 F = m g = 25 × 9.81 = 245.25 N。
力和位移都是垂直向上，夾角 0°，可以直接用 W = F d： 245.25 × 1.5 = 367.875 J。這就是這一下搬運傳給貨物的能量， 也等於貨物多出來的重力位能 —— 兩者是同一筆帳的兩種說法。
367.875 J 這個數字單獨看沒有感覺，換成食物熱量就有了。 1 大卡 = 4,184 J，搬 100 箱累積 36,787.5 J，折合 8.79 大卡。 整個下午搬一百箱貨，純機械功還不到半顆小蘋果。 這不是在貶低體力活，而是提醒：人體把食物能量轉成機械功的效率很低， 絕大部分熱量根本沒變成「功」，而是變成體熱散掉了 —— 這點最後一節再算。
出了力不一定有作功：夾角 θ 決定折扣
改成水平場景。用 200 N 的力推一個箱子走 10 公尺，力與位移同向， W = 200 × 10 = 2,000 J。
但實務上很少有人能完全水平施力。改成用繩子拉，繩子與地面夾 30°， 拉力仍是 200 N、位移仍是 10 公尺：W = 200 × 10 × cos 30° = 1,732.05 J。 少了 267.95 J，等於白費 13.40% 的力氣。 那一部分力分到垂直方向去了，只是把箱子往上提（但箱子沒上升），對水平位移毫無貢獻。
| 夾角 θ | cos θ | 200 N 拉 10 m 的功 | 實際狀況 |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | 2,000 J | 完全水平推 |
| 30° | 0.866 | 1,732.05 J | 斜拉繩索 |
| 90° | 0 | 0 J | 提著走、向心力 |
| 180° | −1 | -2,000 J | 反向阻力 |
90° 那一列是最反直覺的：提著 20 公斤的行李箱在平地走，手出的力垂直向上、位移水平向前， 夾角 90°，cos 90° = 0，整段路的機械功是 0 J。 手會痠是因為肌肉持續收縮在消耗代謝能量，但這筆能量沒有以「功」的形式傳給行李箱 —— 行李箱的動能和位能從頭到尾都沒變。
同一個道理解釋了為什麼等速圓周運動的向心力不作功： 向心力永遠指向圓心、速度永遠沿切線，兩者恆為 90°。 月球繞地球公轉幾十億年，地球對它的萬有引力一焦耳的功都沒作 —— 這也是軌道速率能長期維持不變的原因，可以對照 萬有引力公式 一起看。
θ 取成斜面傾角。把箱子沿 30° 斜坡往上推 10 公尺， 很多人直接寫 W = F × 10 × cos 30°，結果錯了 —— 這時推力是沿著斜面的， 與位移同向，夾角是 0°，應該乘 1 不是乘 0.866。 θ 永遠是「力向量與位移向量的夾角」，和地形的傾斜角沒有關係。 第二個高頻錯誤是把公斤直接當成力：25 公斤不是 25 N， 要先乘 9.81 變成 245.25 N。只要忘了這一步，答案就直接差 9.81 倍。
功和功率差在哪？電梯馬達要多大由時間決定
功是能量，不含時間；功率才是「每秒傳多少能量」。 回到那箱 25 公斤的貨：用 2 秒抬上貨架，功率是 367.875 ÷ 2 = 183.94 W； 用力一甩只花 0.5 秒，同樣的 367.875 J 要在四分之一的時間內送出去， 功率就跳到 735.75 W。功一樣，功率差四倍 —— 這就是為什麼爆發力傷人、而慢慢搬不會。
選馬達時這個差別直接變成錢。一台載重 600 公斤的電梯要上升 30 公尺：
| 步驟 | 算式 | 結果 |
|---|---|---|
| 把載重換成力 | 600 × 9.81 | 5,886 N |
| 算總功 | 5,886 × 30 | 176,580 J（176.58 kJ） |
| 限定 20 秒走完 | 176,580 ÷ 20 | 8,829 W（8.83 kW） |
| 馬達效率 85% | 8,829 ÷ 0.85 | 10,387.06 W（10.39 kW） |
總功 176,580 J 是物理下限，不管花 20 秒還是 20 分鐘都一樣。 真正決定馬達規格的是那個「20 秒」。把行程時間放寬一倍，所需功率就砍半， 馬達、變頻器、配線全都能降一級 —— 電梯設計的成本槓桿不在重量，在速度要求。 最後那一步的效率除法也別漏：10.39 kW 是馬達軸端的輸入需求， 不是 8.83 kW。按輸出功率去挑型號，電梯裝上去會爬不動。
負功：剎車、下樓、摩擦力都在扣分
cos θ 可以是負的，所以功可以是負值。負功的意思是「這個力在從系統裡抽走能量」。
把那箱貨從 1.5 公尺的架上搬下來放回地面：手的施力依然向上 245.25 N（撐住重量）， 位移卻是向下 1.5 公尺，夾角 180°，W = -367.875 J。 手對箱子作了負功，意思是能量從箱子流回手 —— 所以下樓梯、放下重物時肌肉是在「吸收」能量（離心收縮），而不是輸出能量。
摩擦力是最常見的負功來源，而且一定是負的，因為動摩擦力永遠與運動方向相反。 在水平地面推一個 50 公斤的木箱，動摩擦係數 μ = 0.4： 摩擦力 f = 0.4 × 50 × 9.81 = 196.2 N。推 8 公尺， 摩擦力作功 -1,569.6 J。
反過來看，要維持等速（動能不變），施力就必須剛好抵銷摩擦力， 所以人要輸出 +1,569.6 J。這 1,569.6 J 全部變成地面與箱底的熱，沒有一絲存進動能裡。 這就是功能定理的精髓：合力作的總功等於動能變化。 等速時正負功相抵、合力作功為零、動能不變，完全自圓其說。想接著算動能的部分， 對照 動能公式 ½mv²； 想知道這裡的 196.2 N 從哪來，看 牛頓第二運動定律。
深蹲 80 公斤 10 下，機械功只有 0.94 大卡
健身房最適合驗證這條公式，因為每個變數都量得到。 槓鈴 80 公斤，F = 80 × 9.81 = 784.8 N；一下深蹲槓鈴上升約 0.5 公尺， 單次正功 784.8 × 0.5 = 392.4 J；做 10 下共 3,924 J。 換成熱量是 0.94 大卡。
這個數字小到讓人懷疑是不是算錯了，但它確實只是機械功。 人體把化學能轉成機械功的效率很低，運動生理學在腳踏車測功儀上量到的 機械效率大約 20～25%。取最樂觀的 25%，代謝端的消耗是 3,924 ÷ 0.25 = 15,696 J，也就是 3.75 大卡。
這才是重點：器材螢幕上的卡路里和公式算出的機械功相差四倍以上， 而兩個數字都沒有錯 —— 一個是輸出端、一個是輸入端。 另外 75% 的能量變成體熱，這也是為什麼運動會流汗。 想把每日總消耗接起來看，用 TDEE 每日總能量消耗； 想把這些倍數與百分比算清楚，用 百分比公式。
順帶一個校正：深蹲下放的那半程，槓鈴位移向下而你的施力向上，是負功。 所以一組 10 下的實際代謝成本比上面估的高 —— 離心收縮的代謝效率又和向心不同， 無法用同一個係數換算。公式能給的是機械功這個硬邊界，不是熱量帳單。
動手算算看
輸入力、位移與夾角，看功怎麼隨 θ 掉下來。 把 θ 從 0° 推到 90°，會看到結果不是線性下降，而是先慢後快。