| 變數 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| F | 兩物體之間的引力大小（向量沿兩中心連線方向） | 牛頓 N |
| m₁, m₂ | 兩個物體的質量 | 公斤 kg |
| r | 兩物體中心之間的距離（不是表面距離） | 公尺 m |
| G | 萬有引力常數（CODATA 2018 值） | 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² |
意義：宇宙裡每對有質量的物體都在彼此吸引
公式裡沒有任何條件限制 m₁ 跟 m₂ 是什麼 —— 太陽和地球、地球和月球、你和你手上的手機、兩個遙遠星系，全都遵守同一條公式。 這就是「萬有」兩個字的力量：在牛頓之前，沒人想過地上的力（蘋果落下）和天上的力（月球運動）是同一種力。 物理學的「統一」這件事，從這條公式開始。
引力的大小由兩件事決定： (1) 質量越大，引力越強（兩個質量相乘，雙倍質量 → 雙倍引力）； (2) 距離越遠，引力越弱，且以平方反比衰減（距離拉到 2 倍 → 引力變 1/4；距離 10 倍 → 引力變 1/100）。 平方反比這件事不是巧合，它跟球面面積擴散有關 —— 引力線從一個點往外發散， 在距離 r 的球面上總共要鋪滿 4πr² 的面積，所以單位面積的「引力強度」必然以 1/r² 衰減。
從萬有引力推出地表 g：為什麼是 9.8 m/s²
站在地表上，你受到地球的引力 F = G·M·m/R²， 其中 M 是地球質量 ≈ 5.972 × 10²⁴ kg、R 是地球半徑 ≈ 6.371 × 10⁶ m、m 是你的質量。 套牛頓第二定律 F = m·g（這裡的 g 是地表重力加速度），把 m 約掉：
g = G·M / R² = (6.6743e−11) × (5.972e24) / (6.371e6)² ≈ 9.82 m/s²
這就是高中物理課本裡 g ≈ 9.8 的真正來源。 注意 g 跟你的質量 m 完全沒關係 —— 所以伽利略的「比薩斜塔實驗」結論是對的：在沒空氣阻力時，鐵球和羽毛同時落地。
實際應用
1. 月球為什麼不會掉下來：它一直在「掉」
月球受地球引力一直在朝地球加速。如果它本來靜止，早就掉下來了。 但月球有切線方向的速度（大約每秒 1 km），所以它同時在朝地球落、又在往側邊飛。 兩個運動疊加的結果，就是它沿著弧線繞地球轉。 想像你把球綁在繩上甩，球一直想沿切線飛走，繩子一直把它拉回中心 —— 軌道運動本質上就是「永遠在落、但永遠落不到」。
這就是 ISS 國際太空站每 90 分鐘繞地球一圈的物理：它離地表約 400 km（r = 6.771 × 10⁶ m）， 要圓周運動 v²/r = G·M/r²，解出 v = √(G·M/r) ≈ 7.67 km/s（時速約 27,600 km）。 以這個速度繞地球一周 2πr = 4.25 萬 km，所需時間 ≈ 92 分鐘。太空人每天看 16 次日出。
2. 逃逸速度：要多快才能擺脫地球？
地球表面要把物體丟到無窮遠（不再回來），動能必須能克服引力位能： ½·m·v² ≥ G·M·m/R，解出 v = √(2·G·M/R) ≈ 11.2 km/s（時速 4 萬 km）。 這就是逃逸速度，火箭離地需要的最低初速度。 黑洞之所以叫黑洞，是因為它的逃逸速度超過光速 —— 連光都跑不掉。
3. 你跟你的咖啡杯之間：理論上也在互相吸引
你 70 kg、咖啡杯 0.3 kg、距離 0.5 m： F = (6.67e−11) × 70 × 0.3 / 0.25 ≈ 5.6 × 10⁻⁹ N。 這個力大約等於一根頭髮重量的億分之一 —— 完全測不到，被任何空氣擾動淹沒。 這就是為什麼日常生活感受不到「萬物相吸」 —— 不是公式錯，是 G 實在太小。 只有當其中一邊質量達到「行星等級」（10²⁴ kg 起跳）時，這個力才開始有感。
(1) r 用錯：r 是兩物體中心的距離，不是表面距離。算地表物體受地球引力時，r = 地球半徑 + 物體離地高度，不是只有高度。
(2) 重力 ≠ 萬有引力：地表「重力」是萬有引力扣掉地球自轉造成的離心效應後剩下的有效重力，所以赤道 g 比兩極小一點點（約 0.5%）。
(3) 把 G 跟 g 搞混：大寫 G 是萬有引力常數（普世值 6.6743e−11），小寫 g 是地表重力加速度（9.8 m/s²，會隨星球變）。火星上 g ≈ 3.71，月球上 g ≈ 1.62。
(4) 強場與高速情況：當引力極強（黑洞附近）或物體高速運動（接近光速）時，牛頓萬有引力公式有可量測偏差，需要愛因斯坦的廣義相對論。日常與工程精度內，牛頓公式完全夠用，GPS 才需要 GR 微秒級修正。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的萬有引力計算機（G 已內嵌成精確值，你只需填 m₁、m₂、r）。 試試：太陽 (1.989 × 10³⁰ kg) 對地球 (5.972 × 10²⁴ kg)、距離 1.496 × 10¹¹ m， 引力約 3.54 × 10²² N —— 就是這個力把地球綁在軌道上 46 億年。