| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| N₀ | 初始量：原子數、質量或放射活度 | 個、g、Bq、MBq | 碘-131 治療劑量 3,700 MBq |
| N | 經過 t 之後的剩餘量 | 與 N₀ 相同 | — |
| t | 經過時間 | 秒、天、年（與 T 一致） | 7 天、30 天、10,000 年 |
| T | 半衰期：剩餘量減為一半所需時間 | 與 t 相同 | 碘-131 8.02 天、銫-137 30.08 年、碳-14 5,730 年 |
每過一個半衰期剩一半：先看比例表
t/T 是「經過了幾個半衰期」。它是整數時，剩餘比例直接是 ½ 的次方：
- 1 個半衰期：(½)¹ = 50%
- 2 個半衰期：(½)² = 25%
- 3 個半衰期：(½)³ = 12.5%
- 4 個半衰期：(½)⁴ = 6.25%
- 10 個半衰期：(½)¹⁰ = 1/1,024 ≈ 0.098%
「10 個半衰期剩不到千分之一」常被當成衰減殆盡的經驗門檻。t/T 不是整數也一樣代入，次方可以是小數。
用真實數字算一遍：碘-131 劑量 30 天後剩多少？
條件：N₀ = 3,700 MBq，T = 8.02 天，只看物理衰變：
- 7 天：3,700 × (½)^(7/8.02) ≈ 2,020 MBq
- 8.02 天（剛好 1 個半衰期）：3,700 × ½ = 1,850 MBq
- 14 天：3,700 × (½)^(14/8.02) ≈ 1,103 MBq
- 30 天：3,700 × (½)^(30/8.02) ≈ 277 MBq
- 80.2 天（10 個半衰期）：3,700 ÷ 1,024 ≈ 3.6 MBq
反過來問「要多久才降到 1%」：(½)^(t/T) = 0.01，t = T × ln(100) / ln 2 = 8.02 × 6.644 ≈ 53.3 天。 臨床上還有身體代謝排出，體內殘留下降得比純物理衰變更快。
碳-14 定年：從剩餘比例反解年代
考古樣本的已知量是「剩餘比例」N/N₀，要求的是 t。把公式取對數整理： t = T × ln(N₀/N) / ln 2。碳-14 的半衰期 T = 5,730 年：
- 樣本碳-14 剩 25%：t = 5,730 × ln 4 / ln 2 = 2 個半衰期 = 11,460 年
- 樣本剩 60%：t = 5,730 × ln(1/0.6) / ln 2 ≈ 4,223 年
- 順向驗算：10,000 年後剩 (½)^(10000/5730) ≈ 29.8%
T 取哪個值會影響結果。實驗室慣例以 Libby 半衰期 5,568 年報告「常規碳年齡」，同一個 60% 樣本會算成約 4,103 年，少 119 年；讀定年數字前先確認用的是哪個 T。
半衰期與衰變常數 λ：怎麼換成 e 的形式？
物理課本常寫成 N = N₀·e^(−λt)。兩種寫法等價，換算只靠 ln 2 ≈ 0.693： λ = ln 2 / T。碳-14 的 λ = 0.693 ÷ 5,730 ≈ 1.21 × 10⁻⁴ 每年；碘-131 的 λ ≈ 0.0864 每天。
另一個常見量是平均壽命 τ = 1/λ = T / ln 2，碳-14 約 8,267 年。 更一般的成長與衰減寫法，見指數成長與衰減 A·e^(kt)。
第一種錯誤是線性推論：「8 天剩一半，16 天就全沒了」。實際上 16 天是 2 個半衰期，還剩 25%； 指數衰減理論上永遠不會到 0，只會越來越接近。 第二種錯誤是把次方寫成 T/t：碘-131 的 30 天會算出 3,700 × (½)^(8.02/30) ≈ 3,074 MBq， 比正確的 277 MBq 多了約 11 倍。檢查法很簡單：時間越久，次方 t/T 應該越大、剩餘量越少。
半衰期公式什麼時候不準？
公式描述的是大量原子的統計平均：個別原子何時衰變無法預測，但整體比例非常穩定；樣本只剩幾十個原子時，實際計數會明顯偏離公式。
長尺度的環境問題也要靠它估算。銫-137 半衰期 30.08 年，1986 年車諾比事故釋出的量到 2026 年經過 40 年， 仍剩 (½)^(40/30.08) ≈ 39.8%；100 年後約 9.98%。土壤遷移與沖刷不在公式內。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供半衰期剩餘量 #106 的互動計算——輸入初始量 N₀、經過時間 t 與半衰期 T，立即得到剩餘量。 輸入 3,700、30、8.02 即可重現本文的 277 MBq。