| 符號 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| x₁, y₁ | 向量 a 在 x、y 軸上的分量 | 依情境（公尺、牛頓…） | 任意實數，可負 |
| x₂, y₂ | 向量 b 在同一組座標軸上的分量 | 可與 a 不同單位 | 任意實數，可負 |
| a·b | 內積（點積、數量積） | 兩者單位相乘（如牛頓·公尺＝焦耳） | 可正、可負、可為零 |
為什麼是對應相乘再相加？
內積只做兩件事：同一條軸上的分量相乘，然後把各軸的結果加起來。 取 a = (3, 4)、b = (12, 5)：x 軸上 3 × 12 = 36， y 軸上 4 × 5 = 20，相加得 a·b = 56。 x 分量絕對不會乘到 y 分量——兩條軸互相垂直，彼此沒有貢獻， 所以只能同軸相乘，這是整條公式唯一的設計理由。
把 b 換成 a 自己，公式立刻變成熟面孔：a·a = 3² + 4² = 25， 正好是向量長度的平方 |a|²。 也就是說 |a| = √(a·a)，長度是內積的特例， 而底層那個 x² + y² 又來自勾股定理。 實務上要比較兩個向量誰長、或判斷是否進入半徑範圍，直接比 a·a 就夠， 不必多花一次開根號。
正負號與零各代表什麼夾角？
內積的另一個等價寫法是 a·b = |a||b|cos θ，θ 是兩個向量的夾角。 cos θ 在 0 到 90 度之間為正、90 度時為零、超過 90 度轉負， 所以內積的符號就是夾角的分類：正代表大致同向，零代表垂直，負代表大致反向。
延續上面的數字：|a| = 5、|b| = 13，兩者相乘是 65， 因此 cos θ = 56 ÷ 65 = 0.8615，θ = 30.51 度。 把 b 整個反轉成 (−12, −5)，每一項都變號，內積的絕對值還是 56 但符號為負， 夾角也跟著變成 180 − 30.51 = 149.49 度。
最有用的是等於零那一格。b 換成 (−4, 3) 時，3 × (−4) + 4 × 3 = 0， 代表兩者垂直。要判斷垂直，算內積是否為零比反三角函數算角度快得多， 也不會踩到浮點數開根號的誤差——碰撞偵測、牆面法線、 回歸分析裡的殘差正交，用的都是這一招。
| b 向量 | a·b | 夾角 θ | 關係 |
|---|---|---|---|
| (12, 5) | 正（56） | 30.51 度 | 大致同向 |
| (−4, 3) | 0 | 90 度 | 垂直 |
| (−12, −5) | 負（絕對值 56） | 149.49 度 | 大致反向 |
用真實數字算一遍：斜拉繩子做了多少功
場景設定：用 200 牛頓的拉力、繩子與地面夾 30 度，把箱子沿水平方向拉 10 公尺。 力向量 F 的分量是水平 200 × cos 30° = 173.21 牛頓、 垂直 200 × sin 30° = 100 牛頓；位移向量 d = (10, 0)。
功就是這兩個向量的內積：W = 173.21 × 10 + 100 × 0 = 1,732.05 焦耳。 垂直分力整整 100 牛頓，乘上零位移後貢獻為零——箱子沒有被往上搬，那份力就不做功。 這不是近似，是內積的定義直接得到的結果。
如果把拉力的大小 200 直接乘上距離 10，會得到 2,000 焦耳， 高估了 267.95 焦耳。角度越大高估越多： 夾 60 度時水平分力只剩一半，夾 90 度（垂直向上提著走）時做功為零。 內積的作用就是在相乘之前，先把「沒有用在同一個方向上」的部分扣掉。
| 算法 | 式子 | 功（焦耳） |
|---|---|---|
| 力的大小 × 距離 | 200 × 10 | 2,000 |
| 內積（正確） | 173.21 × 10 + 100 × 0 | 1,732.05 |
| 差額 | 相減 | 267.95 |
投影與加權平均：同一條公式的兩個身分
把內積除以其中一個向量的長度，就得到另一個向量在它身上的投影長度： a 投影到 b 的長度 = 56 ÷ 13 = 4.31。 上一節的做功其實就是這件事——力在位移方向上的投影，乘以位移大小。 把兩個向量都先除以自己的長度（正規化）再做內積，結果就是 cos θ 本身， 也就是文字探勘裡的餘弦相似度。
換成財務情境，公式一字不改。投資組合 60% 配在年報酬 8% 的標的、 40% 配在 3% 的標的，組合報酬就是權重向量與報酬向量的內積： 0.6 × 8% + 0.4 × 3% = 4.8% + 1.2% = 6%。 所有加權平均在數學上都是一次內積， 只是權重那一欄的總和被限定為 1。認出這件事的好處是： 不管欄位叫報酬率、單價還是熱量，加權彙總都只有這一條公式要記。
把內積當成兩個長度相乘。a = (3, 4)、b = (12, 5) 的內積是 56， 不是 |a||b| = 65，直接相乘會高估 16.07%； 只有兩個向量完全同向時兩者才相等。 第二個常錯的是把結果當成向量：內積的輸出是一個數字， 寫成 (36, 20) 就是漏了最後相加那一步。 輸出是向量的那個叫外積，2D 版本是 x₁y₂ − x₂y₁， 同一組數字算出來的絕對值是 33，和 56 毫無關係，兩者不能混用。 第三個是兩個向量用了不同的座標軸或不同單位—— 內積要求 x₁ 與 x₂ 來自同一條軸；一邊用公尺一邊用公分，算出來的數字沒有意義。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供這條公式的互動計算。 先用 a = (3, 4)、b = (12, 5) 確認結果是不是 56，再換成自己的數字—— 填之前先確認兩組分量對應同一組座標軸，這是這條公式最常翻車的地方。