三角形面積怎麼算？底乘高除以 2 公式拆解

變數	意義	單位	典型值
A	三角形面積	長度單位的平方（m²、坪）	山牆 8 ～ 20 m²
b	底：任選的一邊	長度（m、cm）	3 ～ 50 m
h	高：對頂點到底邊（或其延長線）的垂直距離	同 b	2 ～ 45 m

為什麼要除以 2？把三角形複製一份就看懂了

取任意三角形，複製一份、旋轉半圈接回原來的一條邊，兩片會拼成一個平行四邊形， 底與高和原三角形完全相同。平行四邊形剪下一角補到另一側就是同底同高的矩形， 面積是底乘高。三角形恰好是它的一半——除以 2 就是這麼來的。

底 12 公尺、高 9 公尺的三角形，拼成的平行四邊形面積是 108.00 平方公尺， 三角形就是 54.00 平方公尺。

這個推導同時交代了兩件常被忽略的事。第一，公式對銳角、直角、鈍角三角形一律成立， 因為拼接動作不挑角度。第二，「底」不是特指畫在最下面那條邊——任何一邊都能當底， 條件只有一個：配上從對頂點垂直落到該邊的距離當高。

底 12、高 9 算一遍，順便看三種尺度

公式對尺度沒有偏好，從桌上的三角旗到整塊建地都是同一條式子。

場景	底 b（m）	高 h（m）	面積（m²）
桌上三角旗	0.6	0.9	0.27
教科書標準題	12.0	9.0	54.00
等腰屋頂山牆	8.0	3.0	12.00

台灣談土地與室內空間習慣用坪。1 平方公尺等於 121/400 坪，也就是 0.3025 坪， 所以 54.00 平方公尺是 16.3 坪。這個係數是有限小數，寫全不費事； 分區累加時用 0.3025 而不是概數 0.3，才不會每一段都偏低。

高是垂直高，不是斜邊——最貴的一種算錯

等腰屋頂的山牆是最常見的翻車點。底 8.0 公尺、兩側屋頂斜面各 5.0 公尺， 手邊只有斜面長度，很容易直接把 5.0 當成高。斜邊不是高。

正確做法是先回推垂直高：等腰三角形的高會把底切成兩段各 4.0 公尺， 再用勾股定理得 √(5² − 4²) = 3.0 公尺。 面積因此是 12.00 平方公尺。

拿斜邊 5.0 當高的話會得到 20.00 平方公尺，多算 8.00 平方公尺，高估 66.7%。外牆漆料、隔熱材、防水布都以面積計價， 這個差額會原封不動變成多買的材料。斜邊永遠比高長，所以這種錯只會多估、不會少估。

底可以任選，答案不變；鈍角三角形的高在圖形外面

三邊長 13、14、15 的三角形是驗算的好例子。以 14 為底時，對應的高是 12.00 公尺，面積 ½ × 14 × 12.00 = 84.00 平方公尺。 換成以 15 為底，高變成 11.20 公尺，面積 ½ × 15 × 11.20 同樣是 84.00。

同一個三角形換三組底高得到同一個面積，這是最省事的自我驗算： 量兩組配對各算一次，對不上就是某一段量錯，或者高沒有垂直於所配的底。

鈍角三角形容易讓人卡住。以較短的一邊 10 公尺為底時，對頂點的垂直投影會落在 底邊的延長線上，垂線畫在圖形外面。高量的是那條垂線長度， 設為 6 公尺，面積仍是 30.00 平方公尺。公式一個字都不用改， 變的只是高要往外量——這也是為什麼變數表把高定義成「到底邊或其延長線」的距離。

只知道三邊長怎麼辦？海倫公式與直角驗算

實地丈量土地時，量三個邊長比量一條垂直高容易得多，因為高的落點在地上沒有標記。 這種情況用海倫公式：先算半周長，再開一次根號。

一塊三角地實測三邊 28、45、53 公尺。半周長 s = (28 + 45 + 53) / 2 = 63.0 公尺，代進去得 √(63.0 × 35 × 18 × 10) = 630.00 平方公尺。

這塊地剛好能互相驗證：28² + 45² = 784 + 2,025 = 2,809，而 53² 也是 2,809， 兩短邊互相垂直。既然是直角三角形，兩股就是現成的底與高， 直接算 ½ × 28 × 45 = 630.00 平方公尺——與海倫公式完全一致。 換成坪是 190.6 坪。

兩條互不相關的路徑得到同一個數字，比任何一條路徑算兩遍都更有說服力。 丈量結果只要湊得出直角，就值得用這招對一次。海倫公式在 ∑ Calc 編為 #26（Pro）， 本文只借它交叉驗算，不展開推導。

動手算算看

下面嵌入 ∑ Calc 的三角形面積計算機。先輸入 12 和 9 確認是不是 54.00， 再把自己量到的底與高填進去——填之前先確認那個「高」是垂直高，不是斜邊。