球體積怎麼算？(4/3)πr³ 公式拆解

變數	意義	單位	典型值
V	球的體積	長度單位的立方（cm³、m³、in³）	籃球 7,124.15 cm³
r	半徑：球心到球面任一點的距離	長度（cm、m、in）	1 ～ 20 cm
π	圓周率：圓周長與直徑之比	無單位（純比值）	3.14159…

三分之四是怎麼來的？球是外接圓柱的三分之二

把球剛好塞進一個圓柱：底面半徑等於球半徑 r、高等於直徑 2r，這是裝得下它的最小圓柱。 阿基米德證明的是，球體積正好是這個圓柱的三分之二。

驗算一遍：圓柱體積是底面積乘高，πr² × 2r = 2πr³；它的三分之二是 (4/3)πr³，正是球體積公式。 也就是說，球佔滿外接圓柱的 66.7%，剩下三分之一是球面與圓柱之間的空隙。

阿基米德要求把「球內接於圓柱」刻在墓碑上，就是這條關係。記不住三分之四時， 先想圓柱的 2πr³ 再取三分之二，答案一樣，而且每一步都有幾何意義。

半徑 10 公分算一遍，五種尺寸對照

半徑 10 公分：先立方得 1000，乘 π 得 3,141.59，再乘三分之四， 得 4,188.79 立方公分。順序不能顛倒——先把 (4/3)π 乘進半徑再立方， 係數也會被立方。

半徑 r（cm）	r³	體積 V = (4/3)πr³（cm³）
1	1	4.19
5	125	523.60
10	1000	4,188.79
15	3375	14,137.17
20	8000	33,510.32

半徑 1 的球體積是 4.19，也就是 (4/3)π 這個係數本身。 記住它，估算球體時乘上 r³ 就有答案。

成長速度比圓面積更兇：半徑從 10 變成 20（加倍），體積從 4,188.79 跳到 33,510.32，正好是 8 倍——立方項把半徑的變化放大三次方。細微變動同樣被放大：半徑只增加 10%， 體積就增加 33.1%，因為 1.1 的三次方是 1.331。容器直徑差一點，能裝的量差很多。

只知道直徑或周長，怎麼換算？

現實中拿到的很少是半徑：規格標的是直徑或周長，量測工具也構不到球心。兩條路徑都通。

已知直徑 d：半徑是直徑一半，代入 (4/3)π(d/2)³，化簡得 πd³/6。 直徑 24 公分的球，體積是 7,238.23 立方公分。

已知周長 C：這裡指繞球一圈最大的圓（赤道）。由 C = 2πr 反解 r = C/(2π)， 代回得 V = C³/(6π²)。赤道周長 75 公分的球，體積是 7,124.15 立方公分， 也就是 7.12 公升。軟尺繞一圈比量直徑準：沒對準球心就會偏短。

反過來由體積求半徑：把公式倒過來得 r = ∛(3V/4π)。 要做一顆容量剛好 1000 立方公分（1 公升）的球形容器，內半徑得是 6.20 公分。 先決定裝多少再回推尺寸，比做出來才發現裝不下省事。

半球與球殼怎麼扣？

要算的常常不是完整的球：碗、圓頂、量匙是半球；乒乓球的殼、保溫瓶的夾層是球殼。 兩者都只從完整球體改一個地方。

半球：直接取一半，V = (2/3)πr³。半徑 10 公分的半球形容器， 容量是 2,094.40 立方公分。這裡的 2/3 來自「取一半」， 和前面「球佔外接圓柱三分之二」是兩件事。

球殼：外球減內球。外半徑 10 公分、內半徑 6 公分的中空球，殼的體積是 3,284.01 立方公分。括號的位置是關鍵：先做 R³ − r³ 再乘係數。 寫成 (4/3)π(R − r)³ 算的是一顆半徑 4 公分的球，和殼完全無關。

一顆大的，還是幾顆小的？

半徑 10 公分的球，體積是 4,188.79 立方公分。兩顆半徑 5 公分的球加起來只有 1,047.20 立方公分，正好是大球的四分之一。要湊滿一顆大球得要 8 顆小球——半徑折半，體積只剩八分之一。

同一套算法可以搬去比冰淇淋球、珍珠、鋼珠的用料，也能看容器：直徑 3 公尺的球形水塔， 容量是 14.14 立方公尺，一萬四千多公升。若把直徑誤當半徑報給廠商， 訂單會變成八倍大的塔。

動手算算看

下面嵌入 ∑ Calc 的球體積計算機。試試把半徑輸入 10 是不是 4,188.79， 或把量到的直徑除以 2 再填。