| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| a | 二次項係數，必須不為 0，否則方程式退化成一次 | 無因次（或視題目） | 1、2、−5 |
| b | 一次項係數，可為任意實數（含 0 與負數） | 同題目 | −20、7、0 |
| c | 常數項，幾何上是拋物線與 y 軸的交點高度 | 同題目 | 64、130 |
| Δ | 判別式（discriminant），只看它的正負號即可判斷實根個數 | b 單位的平方 | 144、0、負值 |
40 公尺圍籬要圍 64 平方公尺，怎麼用判別式判斷？
周長固定 40 公尺的矩形，長寬相加必為 20 公尺。設一邊為 x，另一邊就是 20 − x， 面積條件寫成 x(20 − x) = 64，整理成標準式 x² − 20x + 64 = 0。 對照 ax² + bx + c = 0，得 a = 1、b = −20、c = 64。
代入判別式：b² 是 (−20)² = 400，4ac 是 4 × 1 × 64 = 256， 相減得 Δ = 144。 正數，所以有兩個不同的實根。開根號得 12， 兩根是 (20 + 12) / 2 = 16 與 (20 − 12) / 2 = 4。 16 × 4 = 64 平方公尺，驗算無誤—— 周長 2 × (16 + 4) 正好 40 公尺。
換成目標 100 平方公尺：x² − 20x + 100 = 0，4ac 變成 400， 與 b² 相等，Δ = 0。 只有一個重根 x = 10，長寬都是 10 公尺的正方形。 這不是巧合：固定周長下矩形面積的最大值就出現在正方形， 40 公尺圍籬能圍出的上限是 (40 / 4)² = 100 平方公尺。
再換成 130 平方公尺：4ac 成長到 520， 比 b² 的 400 大，Δ 變成負數，絕對值是 120。 沒有實根，意思是「40 公尺圍籬圍出 130 平方公尺」在幾何上不存在：不是解不出來，是沒有解。 上一段算出的上限是 100，130 超過了。
為什麼 b²−4ac 的正負就決定實根個數？
判別式不是另外發明的規則，它就藏在公式解裡。 ax² + bx + c = 0 配方之後得 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a， 根號裡的那一塊正是 Δ。整條公式解唯一可能出事的地方就是這個根號。
Δ 為正時，平方根是個正數，± 讓它分岔成兩個不同的答案； Δ 等於 0 時，√0 也是 0，± 加減的都是 0，兩個答案塌成同一個，這就是「重根」； Δ 為負時，實數裡沒有數字的平方是負的，根號算不出實數，方程式在實數範圍內無解。
看懂這點還會多拿到一個結果：兩根相差多少。 兩根是 (−b + √Δ)/2a 與 (−b − √Δ)/2a，相減後 −b 抵銷，差距是 √Δ / |a|。 圍籬那題 a = 1、√Δ = 12，兩根差 12—— 16 和 4 確實差 12 公尺。 Δ 不只回答「有沒有解」，它的大小還量出兩個解分得多開。
Δ 同時告訴你拋物線頂點離 x 軸多遠
把左式看成二次函數 y = ax² + bx + c， 「有幾個實根」就是「拋物線和 x 軸交幾個點」。頂點高度剛好等於 −Δ / (4a)， Δ 與頂點高度是同一件事的兩種寫法，只差一個 −4a 倍率。
| 目標面積（m²） | 方程式 | Δ = b² − 4ac | 頂點相對 x 軸 | 實根 |
|---|---|---|---|---|
| 64 | x² − 20x + 64 = 0 | 144（正） | 低 36 | 16 與 4 |
| 100 | x² − 20x + 100 = 0 | 0 | 正好相切 | 10（重根） |
| 130 | x² − 20x + 130 = 0 | 負（絕對值 120） | 高 30 | 無實根 |
a = 1 時開口向上，頂點沉到 x 軸下面才有機會穿過它兩次。 第一列的頂點比 x 軸低 36，穿兩次； 第三列的頂點高 30，整條拋物線懸在 x 軸上方，一次也碰不到。 這個對照也解釋了為什麼目標面積越大越難達成：c 每增加 1，Δ 就減少 4， 頂點等速往上抬，碰到 100 這個門檻時正好相切。
順帶一提，Δ 為負並不等於「這個方程式沒有根」，只等於「沒有實根」。 在複數範圍內它仍有兩個共軛根：x = 10 ± 5.4772i，虛部就是 √120 / 2。 RLC 電路與結構振動分析都靠這個虛部判斷系統會不會振盪，所以 Δ < 0 是有意義的結果，不是失敗。
Δ 是完全平方數時，可以直接因式分解
整數係數的方程式還能從 Δ 多讀出一件事：根是不是有理數。判準是 Δ 為完全平方數—— 公式解只在 √Δ 這一步可能冒出無理數，Δ 開得出整數，兩根就必定是分數，方程式也就能在整數範圍內分解。
看 2x² − 7x + 3 = 0：Δ = 49 − 24 = 25， 而 25 是 5 的平方。 √Δ = 5，兩根是 (7 + 5) / 4 = 3 與 (7 − 5) / 4 = 0.5，兩根差 2.5。 兩個都是有理數，於是可以寫成 (2x − 1)(x − 3) = 0，不必套公式解。
對照 x² − 8x + 5 = 0：Δ = 64 − 20 = 44。 44 夾在 6² = 36 與 7² = 49 之間，不是完全平方數。 √44 ≈ 6.6332，兩根是 7.3166 與 0.6834，實際上是 4 ± √11 這兩個無理數。 4 + √11 展開確實是 7.3166， 拿整數去湊因式分解注定失敗，只能走公式解。
還有一個容易踩的性質：Δ 的數值不是方程式的不變量，只有正負號是。 把 2x² − 7x + 3 = 0 整條乘以 3 得 6x² − 21x + 9 = 0，同一組根， 但 Δ 從 25 變成 225， 放大 9 倍，也就是倍率 3 的平方。 √Δ / |a| 這個兩根差的算式則會自動抵銷：√225 = 15， 除以 a = 6 仍得 2.5。 所以比較兩個方程式的 Δ 大小沒有意義，先把係數約到最簡再談。
目標面積從 64 提到 99.9，兩根會靠多近？
Δ 從正數縮到 0 的過程，就是兩個解互相靠近到重合的過程。 把圍籬目標面積一路往上限 100 推，看兩根怎麼收斂：
| 目標面積（m²） | 4ac | Δ | √Δ | 兩邊長（m） |
|---|---|---|---|---|
| 64 | 256 | 144 | 12 | 16 與 4 |
| 99 | 396 | 4 | 2 | 11 與 9 |
| 99.9 | 399.6 | 0.4 | 0.6325 | 10.3162 與 9.6838 |
| 100 | 400 | 0 | 0 | 10 與 10 |
面積從 99 加到 99.9，只多了 0.9 %，兩邊長的差距卻從 2 公尺壓到 0.6325 公尺，縮掉將近七成。 原因是 Δ 對 c 是線性的，而兩根差要再開一次根號： 這題的 Δ = 400 − 4c，兩根差等於 2√(100 − c)。 面積離上限的距離每縮小到十分之一，兩邊長的差距只縮小到約三分之一。
實務上的意思是：目標壓在極限附近時，尺寸會變得極端敏感。想圍 99.9 平方公尺，兩邊得量到 10.3162 與 9.6838 公尺， 捲尺量到公分都還不夠；退一步接受 99 平方公尺，尺寸就變成乾淨的 11 和 9 公尺。 判別式越接近 0，答案越脆弱——這是它除了正負號之外最實用的訊號。
b 是負數時漏掉平方：b² 要先平方再看符號。b = −20 時 b² = 400，不是負的 400。 這一步錯了，Δ 會從 144 翻成負數， 結論也從「兩種圍法」翻成「圍不出來」。 防呆做法是先把 b 平方的結果寫下來，確認它是非負數再接著減。
忘記確認 a ≠ 0：a = 0 時方程式根本不是二次式，判別式沒有意義。 例如 5x − 3 = 0 代進 b² − 4ac 會得到 b² 本身（恆為非負）， 看起來像「有兩個實根」，但一次方程式只有一個根 x = 0.6。 看到 a 含有未知參數時，先分 a = 0 與 a ≠ 0 兩種情況討論。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供這條公式的互動計算。先用 a = 1、b = −20、c = 64 確認是不是 144，再填自己的係數。 填之前記得確認 a 不是 0，並留意 b 的正負號要照標準式 ax² + bx + c = 0 原樣輸入。