| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| r | 扇形半徑，也就是圓心到弧的距離 | 長度（m、cm、吋） | 灑水器射程 3 ～ 12 m |
| θ | 圓心角，弧度版公式唯一接受的單位 | 弧度（rad） | 整圓 6.2832，半圓 3.1416 |
| θ° | 同一個圓心角的角度寫法，角度版公式用它 | 度（°） | 0 ～ 360 |
| L | 弧長，等於 rθ，是扇形的外緣長度 | 同 r | 半徑 6 m、120 度時為 12.57 m |
| A | 扇形面積 | 長度單位的平方（m²、平方吋） | 須 > 0 且不超過 πr² |
灑水器擺 120 度、射程 6 公尺，覆蓋多少面積？
先把角度換成弧度。換算係數是 π/180，所以 120 度等於 120 × π/180 = 2.0944 弧度。 代進公式：A = ½ × 6² × 2.0944，得到 37.70 平方公尺。
手邊只有角度時可以跳過換算，直接用角度版：A = (120/360) × π × 6² = 37.70 平方公尺。 半徑 6 公尺的整圓面積是 113.10 平方公尺，120 度正好是整圓的三分之一， 兩條路徑落在同一個答案上，這就是最便宜的一次驗算。
扇形的外弧長度 L = rθ = 6 × 2.0944 = 12.57 公尺，是水柱尖端一次掃過的距離。 灑水器規格表常只給射程和擺動角度，這兩個數字就足以把覆蓋面積和邊界長度都算出來。
為什麼 ½r²θ 只吃弧度？角度代進去會差 57.3 倍
弧度的定義是「弧長除以半徑」——一個沒有單位的比值。 整圓的弧長是 2πr，除以 r 得 2π = 6.2832 弧度，而不是 360。 公式 ½r²θ 之所以乾淨到只有一個乘號，正是因為它把角度表達成這個比值； 360 這套刻度是巴比倫人的歷史產物，和圓本身的幾何沒有關係。
把 120 當成弧度代入：A = ½ × 6² × 120 = 2,160 平方公尺，是正確答案的 57.3 倍。 這個倍數不是巧合，它就是 180/π，也就是 1 弧度換成角度的值。 這類錯誤有個現成的攔截點：扇形面積不可能超過整圓的 113.10 平方公尺， 算出 2,160 時不必檢查公式，看一眼量級就知道單位錯了。
角度版 A = (θ°/360)πr² 本質上是同一條式子。 把 θ = θ° × π/180 代回 ½r²θ，π 與 180 重整後就得到 (θ°/360)πr²。 兩個版本沒有精度差別，選擇標準只有一個：輸入資料本來是什麼單位，就用對應的版本，少一次換算就少一個出錯的地方。
面積就是弧長乘半徑除以 2
把 ½r²θ 的一個 r 併進 θ 裡：½ r²θ = ½ (rθ) r = ½ L r。 扇形面積等於弧長乘半徑除以 2，和三角形的 ½ × 底 × 高 完全同形—— 弧當底、半徑當高。用 12.57 公尺的弧和 6 公尺的半徑走這條路徑，答案仍是 37.70 平方公尺， 這是本文第三條獨立驗算。
半徑固定 6 公尺時，面積與弧長的比值恆為 r/2 = 3，和角度完全無關。 下表把常用角度一次列出，最後兩欄的比值處處是 3：
| 角度 θ° | 弧度 θ | 弧長 L = rθ（m） | 面積 A = ½r²θ（m²） |
|---|---|---|---|
| 30 | 0.5236 | 3.14 | 9.42 |
| 60 | 1.0472 | 6.28 | 18.85 |
| 90 | 1.5708 | 9.42 | 28.27 |
| 120 | 2.0944 | 12.57 | 37.70 |
| 180 | 3.1416 | 18.85 | 56.55 |
| 360 | 6.2832 | 37.70 | 113.10 |
表裡有個看起來像錯誤的巧合：90 度的弧長 9.42 和 30 度的面積 9.42 是同一個數字， 180 度的弧長 18.85 和 60 度的面積 18.85 也一樣。 這是 r = 6 的特例——面積比弧長多乘一個 r/2 = 3，角度放大三倍剛好抵掉。 換成別的半徑就不成立，不要把它當規律記。
換個場景：10 吋披薩的半徑是 5 吋，切 8 片，每片的圓心角是 45 度 = 0.7854 弧度。 單片面積 ½ × 5² × 0.7854 = 9.82 平方吋；整個披薩 78.54 平方吋，除以 8 正好回到 9.82。 每片的餅皮外緣（弧長）是 5 × 0.7854 = 3.93 吋——切得愈多片，每片的餅皮比例愈低， 這是「邊邊派」和「中心派」真正在爭的數字。
半徑和角度各多給一成七，哪邊划算？
半徑在公式裡是平方項，角度是一次項，兩者的槓桿差一個數量級的直覺。 半徑從 6 加到 7 公尺（+16.67%），面積從 37.70 變成 51.31 平方公尺， 多出 13.61 平方公尺，增幅 36.11%。
角度從 120 加到 140 度（同樣是 +16.67%），弧度變成 2.4435， 面積從 37.70 變成 43.98 平方公尺，只多 6.28 平方公尺，增幅 16.67%—— 輸入加幾成，輸出就加幾成，一次項不放大也不縮小。 同樣的一成七，加在半徑上的效果是加在角度上的兩倍多， 所以灑水器選型時射程比擺動範圍值錢。
公式也可以反著用。一塊 50 平方公尺的扇形花圃，半徑受限於 6 公尺的水管長度，圓心角該開多少？ 把 A = ½r²θ 解開得 θ = 2A/r² = 2 × 50 / 36 = 2.7778 弧度，換回角度是 159.15 度。 代回原式驗算：½ × 6² × 2.7778 = 50.00，反解正確。 注意這條反解只在 θ 不超過 2π 時有意義——如果算出來超過 6.2832，表示半徑太短，面積目標本身做不到。
直徑當半徑：把 12 公尺的直徑填進 r，得 ½ × 12² × 2.0944 = 150.80 平方公尺， 正好是正確值的 4 倍。半徑進平方，所以這個錯不是差 2 倍而是差 4 倍， 而且 150.80 仍落在「看起來合理」的量級裡，不像單位錯那樣會自己暴露。 規格表寫「射程」通常是半徑、寫「覆蓋直徑」則要先除以 2。
扇形和弓形搞混：扇形是兩條半徑夾著一段弧；弓形（circular segment）是一條弦夾著一段弧， 等於扇形再扣掉中間那塊三角形。r = 6、θ = 120 度時，三角形面積 ½r²·sin θ = 15.59 平方公尺， 弓形是 37.70 − 15.59 = 22.11 平方公尺，只有扇形的 58.65%。 判斷方法很直接：邊界上有兩條直線就是扇形，只有一條就是弓形。
動手算算看
∑ Calc Pro 提供這條公式的互動計算。 先用半徑 6、圓心角 120 度確認結果是不是 37.70，再換成自己的數字—— 填之前先看清楚輸入框要的是角度還是弧度，這是這條公式唯一真正會翻車的地方。