電容能量怎麼算？½CV² 公式拆解

符號	意義	單位	典型值
C	電容值（Capacitance）	F（法拉）	0.0047（即 4,700 µF）
V	電容兩端的實際工作電壓	V（伏特）	12
Q	儲存電荷，Q = CV	C（庫侖）	0.0564
E	儲存的靜電能	J（焦耳）	計算結果

4,700 µF 配 12 V 存多少能量？用真實數字算一遍

代公式之前先把單位換對，這是這條公式唯一真正會出錯的地方： 1 µF = 10^-6 F，所以 4,700 µF = 0.0047 F。

E = 0.5 × 0.0047 × 12² = 0.5 × 0.0047 × 144 = 0.3384 J。

換個路徑驗一次：Q = CV = 0.0047 × 12 = 0.0564 庫侖， 代入 E = Q²/(2C) = 0.0564² / 0.0094，同樣得 0.3384 J。 兩式互為代數變形，算出不同答案就是單位換錯了。

0.3384 J 是多少？一顆 1.5 V、2,000 mAh 的 AA 鹼性電池帶 1.5 × 2 × 3600 = 10,800 J，是這顆電容的 31,915 倍。 這個比例說明電容的角色：它不是能量元件，是功率元件 —— 價值在毫秒內吐光或吸進能量，不在存得多。

為什麼公式裡有 ½？

直覺上「電荷 Q 乘電壓 V」就是能量，但那會得到 CV² = 0.6768 J，高估一倍。 原因是充電過程中電容的電壓不是固定的：Q 與 V 嚴格成正比（Q = CV）， 電容從空充到滿，端電壓從 0 線性升到 V。推進去的每一庫侖面對的電壓都不同 —— 第一庫侖幾乎不費力，最後一庫侖要頂著全壓 V。

既然是線性的，平均電壓就是 V/2，所以 E = Q × (V/2) = ½CV²； 嚴格寫是積分 ∫₀^Q(q/C) dq = Q²/(2C)，結果相同。

對照電池就看得出差別：鹼性電池放電時端電壓幾乎不變，能量是 QV 而不用除以 2 —— 上一節算 AA 電池用的就是這個式子。兩者差一個 ½，根源在電壓曲線的形狀不同。

這個 ½ 不是電學特有的。動能 ½mv²、 彈簧位能 ½kx²、電感儲能 ½LI² 形狀完全一樣：凡是「推進去的量與已累積的量成正比」 的儲能都會帶 ½。對照著看，C 扮演質量 m、V 扮演速度 v（以平方計）。

電壓是平方、電容是一次方：升壓比換大電容划算

固定 C = 4,700 µF，只改工作電壓：

工作電壓 V	儲能 E（J）	相對 12 V
6 V	0.0846	0.25×
12 V	0.3384	1×
24 V	1.3536	4×
36 V	3.0456	9×
48 V	5.4144	16×

固定 V = 12 V，只改電容值：

電容值 C	儲能 E（J）
1,000 µF	0.072
2,200 µF	0.1584
4,700 µF	0.3384
10,000 µF	0.72

兩張表放一起，取捨就清楚了。從 1,000 µF 換到 4,700 µF，體積與單價都往上跳， 能量也只有 4.7 倍；但電壓從 12 V 升到 24 V， 同一顆電容的儲能直接變 4 倍，代價只是改前級輸出電壓。

容差傳遞也分道揚鑣：工作電壓多 10%，能量多 21%（1.1² − 1）； 電容值多 10%，能量只多 10%。這是為什麼儲能電路（閃光燈、焊機、 電動車 DC-Link）一律往高壓走，不是靠堆容量。

限制來自耐壓。額定電壓是硬天花板，超過就是鼓包或炸裂，而耐壓本身隨規格跳價 —— 平方效應給的好處，有一部分會被耐壓的價格曲線吃回去。

充電時一半的能量燒在電阻上，而且與電阻值無關

用 12 V 電壓源經串聯電阻充空的 4,700 µF 電容，電源付出多少能量？ 推出的電荷是 Q = CV = 0.0564 庫侖，電源端電壓從頭到尾固定 12 V， 做的功是 QV = CV² = 0.6768 J。

但電容只收到 0.3384 J。差額 0.3384 J 全部在串聯電阻上變成熱 —— 充電效率固定是 50%。

最反直覺的是：這個 50% 跟電阻多大完全無關。 電阻小則電流大、充得快，瞬時 I²R 高但時間短；電阻大則反之， 兩者對時間的積分恰好相同。換成 1 Ω 或 1 MΩ 燒掉的焦耳數一模一樣，只有 時間常數 τ = RC 決定的快慢不同。

結論：用電阻限流充大電容，一半的能量注定當暖氣。要效率就得改用電感式 DC-DC， 讓能量先存進磁場再搬進電容；電阻預充只適合「一次性、能量小、要便宜」的場合。

可用能量只是一部分：hold-up 電容怎麼反解

把 0.3384 J 餵給 5 W 負載，理論上能撐 67.68 ms。 但這個數字拿不到，因為它假設電容能被榨到 0 V。

真實系統的下游是 DC-DC，有最低輸入電壓。假設 12 V 系統的 DC-DC 掉到 9 V 就停擺， 可用能量只有兩個狀態的差： ½C(V₁² − V₂²) = 0.5 × 0.0047 × (144 − 81) = 0.14805 J。

佔總儲能只有 (144 − 81) / 144 = 43.75%， 超過一半的能量永遠鎖在 9 V 以下拿不出來。5 W 下實際只撐 29.61 ms，不是 67.68 ms —— 這是 hold-up 時間估錯的頭號原因。

反過來用才是設計時的算法。需求「斷電後 5 W 要再撐 50 ms，DC-DC 最低輸入 9 V」， 解得 C = 2Pt / (V₁² − V₂²) = (2 × 5 × 0.05) / 63 = 7,936.5 µF。 沒有這個標準品，往上取 10,000 µF，實際能撐 63 ms。

尺度再拉一階：一顆 100 F、2.7 V 的超級電容存 0.5 × 100 × 2.7² = 364.5 J，換成瓦時是 364.5 / 3600 = 0.10125 Wh。對照 18650 鋰電池 （3.7 V × 3 Ah = 11.1 Wh = 39,960 J），鋰電池是它的 109.6 倍 —— 單看能量，超級電容毫無勝算。

但把它從 2.7 V 放到 2.0 V 只要一秒，吐出 0.5 × 100 × (7.29 − 4) = 164.5 J，平均功率 164.5 W —— 這對 18650 是嚴重超載。電容贏在功率密度與循環壽命，不在能量密度。

動手算算看

下面是 ∑ Calc 的電容能量計算機。輸入手上電容的規格，看看它實際存得了多少。