| 變數 | 意義 | 單位 | 典型值 |
|---|---|---|---|
| V | 圓柱的體積（容積） | 長度單位的立方（cm³、m³） | 鋁罐 393.44 cm³ |
| r | 底面圓半徑 | 長度（cm、m） | 3 ～ 20 cm |
| h | 柱高：兩底面的垂直距離 | 長度，須與 r 同單位 | 10 ～ 50 cm |
| π | 圓周率：圓周長與直徑之比 | 無單位（純比值） | 3.14159… |
πr²h 就是「底面積 × 高」：為什麼加粗比加高有效
圓柱是同一個圓往上疊出來的。每一層面積都是 πr²，疊到高度 h，體積就是底面積乘高—— πr² 是圓面積，乘 h 只是把它拉成立體，公式裡沒有新東西。
半徑 10 公分的底面積是 314.16 平方公分，乘上高 30 公分， 得 9,424.78 立方公分。
但 r 是平方項、h 是一次項。半徑從 10 加到 20（兩倍）， 體積從 9,424.78 跳到 37,699.11，是四倍； 高從 30 加到 60（同樣兩倍），體積只到 18,849.56，剛好兩倍。
挑容器時這是有用的判準：同樣加大一成，加粗的容量增幅是加高的兩倍。 看到規格只把高度拉長，別預期容量跟著跳一大截。整體尺寸等比放大時，體積才走三次方。
半徑 10 公分、高 30 公分算一遍，五種尺寸對照
代入順序是先平方、再乘 π、最後乘高：10² = 100，乘 π 得 314.16，再乘 30 得 9,424.78 立方公分。π 在哪一步乘都一樣，但 r 必須先平方—— 先把 π 乘進半徑再平方，係數也會被平方。
| 半徑 r（cm） | 高 h（cm） | 體積 V = πr²h（cm³） |
|---|---|---|
| 3 | 10 | 282.74 |
| 5 | 15 | 1,178.10 |
| 10 | 30 | 9,424.78 |
| 15 | 40 | 28,274.33 |
| 20 | 50 | 62,831.85 |
怎麼換成公升？水塔要做多粗？
立方公分與公升是固定的 1,000 倍：1 公升就是 1,000 立方公分。 所以半徑 10 公分、高 30 公分的桶子裝 9.42 公升。 同一個桶子改用公尺制——半徑 0.1 公尺、高 0.3 公尺——得 0.00942 立方公尺； 兩者是同一件事，差在立方公尺與立方公分相差 1,000,000 倍。
實務上常反過來問：要一座裝 1 公噸水（1 立方公尺、1,000 公升）的圓柱水塔， 可用高度 1.2 公尺，底面半徑要多少？反解 r = √(V/πh)，得 0.515 公尺。先定容量、量好淨高再回推半徑， 比做出來才發現放不進去省事。
水位同樣好算，因為體積對高度是線性的：同一座水塔只裝到八成高，容量就是八成， 800 公升。這是 h 只有一次方的好處，不必像球形容器那樣換算。
拿到的不是半徑：直徑與周長怎麼換？
量測現場很少直接給半徑。兩種情況各有寫法，重點都是先換成半徑再平方。
已知直徑 d：代入 r = d/2，化簡得 V = πd²h/4。 直徑 6.6 公分、罐身高 11.5 公分的鋁罐，幾何容積是 393.44 立方公分。 比標示的 330 毫升多，差額來自罐肩收窄與填充頂隙，算的是外形上限。
已知周長 C：由 C = 2πr 反解 r = C/(2π)，代回得 V = C²h/(4π)。 軟尺繞一圈 100 公分、高 300 公分的混凝土柱，體積是 238,732.41 立方公分， 也就是 0.2387 立方公尺。柱子和樹幹量不到圓心，繞一圈比卡尺可靠。
把直徑當半徑填進去：水管、罐頭、水塔的規格幾乎都標直徑，
公式吃的是半徑。直徑 20 公分、高 30 公分的桶子，容積是 9,424.78 立方公分；
把 20 直接當成 r，得 37,699.11，放大四倍。
r 和 h 用不同單位：半徑抄公分、高抄公尺是最常見的混用。
半徑 10 公分配高 0.3 公尺算出 94.25，這個數字既不是立方公分
也不是立方公尺。代入前先統一單位。
圓柱、球、圓錐：同底同高的固定比例
取半徑 10 公分、高 20 公分（h = 2r，球剛好塞滿圓柱）：圓柱 6,283.19、球 4,188.79、圓錐 2,094.40 立方公分。
球佔圓柱 66.7%，圓錐佔三分之一，兩者加起來正好填滿圓柱： 圓柱是圓錐的三倍，球是圓錐的兩倍。這條關係出自阿基米德， 也是圓柱體積值得先記住的理由——另外兩條公式都能從它推回來。
估算時很好用：圓錐形料斗先當圓柱算再除以三，球形容器先算外接圓柱再乘三分之二。 只要背 πr²h。
動手算算看
下面嵌入 ∑ Calc 的圓柱體積計算機。試試半徑 10、高 30 是不是 9,424.78。